Introduction aux probabilités et à l'arithmétique du Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2017 (Pondichéry), est un modèle d'interdisciplinarité entre les probabilités et l'arithmétique. Le niveau 3ème exige une maîtrise parfaite du concept d'équiprobabilité et une connaissance pointue des propriétés des nombres (multiples, diviseurs, nombres premiers). L'énoncé nous place dans une situation classique : un tirage aléatoire dans une urne (ou un sac) contenant 20 boules numérotées de 1 à 20. L'univers des possibles, noté $\Omega$, contient donc 20 issues distinctes. Chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, nous appliquons la loi de Laplace : la probabilité d'un événement est égale au rapport du nombre d'issues favorables sur le nombre total d'issues.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Abordons les questions avec la rigueur attendue par les correcteurs du Brevet. La consigne impose des fractions irréductibles, ce qui signifie qu'après chaque calcul, tu dois simplifier tes résultats au maximum en utilisant tes connaissances sur les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers.

Question 1 : Probabilité de tirer la boule 13

C'est l'application directe de la définition. Il n'y a qu'une seule boule portant le numéro 13 dans le sac. L'événement est un événement élémentaire. Le nombre d'issues favorables est 1 et le nombre total est 20. La probabilité est donc $1/20$. Cette fraction est déjà irréductible car 1 n'a pas d'autre diviseur que lui-même.

Question 2 : Probabilité de tirer un numéro pair

Ici, il faut lister les issues favorables. Entre 1 et 20, les nombres pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Il y en a exactement 10. La probabilité brute est de $10/20$. Attention ! La consigne exige une forme irréductible. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), ici 10, nous obtenons $1/2$. C'est logique : une boule sur deux est paire dans une suite consécutive commençant par 1 et finissant par un nombre pair.

Question 3 : Comparaison entre multiples et diviseurs de 4

Cette question fait appel à tes connaissances en arithmétique.
1. **Multiples de 4** : Dans l'intervalle $[1 ; 20]$, les multiples de 4 sont $4 \times 1 = 4$, $4 \times 2 = 8$, $4 \times 3 = 12$, $4 \times 4 = 16$ et $4 \times 5 = 20$. Il y a 5 issues favorables. La probabilité est $5/20 = 1/4$.
2. **Diviseurs de 4** : Les diviseurs de 4 sont les nombres entiers qui divisent 4 sans reste. Ce sont 1, 2 et 4. Il y a 3 issues favorables. La probabilité est $3/20$.
Puisque $5 > 3$ (ou $5/20 > 3/20$), on a effectivement plus de chances de tirer un multiple de 4 qu'un diviseur de 4. La réponse est affirmative.

Question 4 : Probabilité d'obtenir un nombre premier

C'est le point technique de l'exercice. Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Listons-les soigneusement entre 1 et 20 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Il y a 8 nombres premiers dans ce sac. La probabilité est donc $8/20$. Pour rendre cette fraction irréductible, nous divisons par 4 (le PGCD de 8 et 20) : $8 \div 4 = 2$ et $20 \div 4 = 5$. Le résultat final est $2/5$.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique en 3ème concerne le nombre 1. **Attention : 1 n'est pas un nombre premier.** Par définition, un nombre premier doit avoir deux diviseurs distincts. Or, 1 n'en a qu'un seul (lui-même). Si tu inclus 1 dans ta liste à la question 4, ton résultat sera faux ($9/20$). Un autre piège est l'oubli de la simplification des fractions. Même si ta probabilité est juste (ex: $10/20$), ne pas la simplifier en $1/2$ te fera perdre la moitié des points de la question selon les barèmes officiels.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir tous les points, structure ta réponse ainsi :
1. Nomme l'événement (ex: "Soit A l'événement : tirer un nombre pair").
2. Justifie le nombre d'issues favorables (en les listant si possible).
3. Rappelle la formule du cours : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues total}}$.
4. Présente le résultat final en évidence, sous forme de fraction irréductible comme demandé.