Introduction aux notions du Brevet 2017

Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2017, est une synthèse parfaite des compétences fondamentales attendues en fin de troisième. Sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM), il balaie des domaines variés : la géométrie plane avec le théorème de Thalès, l'arithmétique avec le calcul de fractions, et l'algèbre via le calcul littéral et la mise en équation. L'objectif pédagogique est double : tester la rapidité d'exécution et la précision du raisonnement. Dans cette analyse, nous allons décortiquer chaque question pour transformer ce QCM en un levier de réussite pour ton examen.

Analyse Question 1 : Aires et Calcul Littéral

La première question demande de déterminer l'aire du rectangle ABCD. Ici, les dimensions ne sont pas des nombres entiers mais des expressions algébriques. On observe que la largeur est notée $x$ et que la longueur est composée d'un segment de longueur $x$ (codé par le symbole d'égalité) et d'un segment de longueur 2. La longueur totale est donc $x + 2$.

Le rappel de cours est essentiel : l'aire d'un rectangle se calcule par la formule $Longueur \times largeur$. On doit donc effectuer le produit $x \times (x + 2)$. C'est ici qu'intervient la distributivité simple : $x \times x + x \times 2$, ce qui nous donne $x^2 + 2x$. Les erreurs classiques consistent à additionner les côtés (périmètre) ou à oublier de distribuer le $x$ sur le 2.

Analyse Question 2 : Systèmes et Logique Numérique

Nous sommes face à un problème classique de prix unitaire. Alexandra paie 810 F pour 2 cahiers et 3 crayons. Nathalie paie 650 F pour 1 cahier et 5 crayons. Dans un QCM, la méthode la plus rapide est souvent de tester les réponses proposées plutôt que de résoudre un système d'équations linéaire complexe.

Testons la proposition 3 : Si un cahier coûte 300 F et un crayon 70 F. Pour Alexandra : $2 \times 300 + 3 \times 70 = 600 + 210 = 810$ F. Cela correspond. Vérifions pour Nathalie : $1 \times 300 + 5 \times 70 = 300 + 350 = 650$ F. Les deux conditions sont remplies. La validation par substitution est une stratégie gagnante au Brevet pour gagner du temps précieux.

Analyse Question 3 : Puissances et Suites Logiques

Ce problème de cailloux est une introduction concrète aux suites géométriques (bien que ce terme ne soit pas au programme de 3ème). La règle est le doublement à chaque case. Case 1 : 2 cailloux ($2^1$). Case 2 : 4 cailloux ($2^2$). Case 3 : 8 cailloux ($2^3$).

En comptant le nombre de cases sur le schéma (8 cases au total en incluant la sortie), nous devons calculer $2$ à la puissance 8. Le calcul est le suivant : $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$. L'élève doit être vigilant sur le décompte exact des étapes pour ne pas s'arrêter à $2^7$ (128).

Analyse Question 4 : Priorités Opératoires et Fractions

L'expression est $\frac{5}{14} + \frac{3}{7} \times \frac{5}{2}$. La règle d'or est la priorité de la multiplication sur l'addition. On calcule d'abord le produit des fractions : $\frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14}$.

Ensuite, on procède à l'addition : $\frac{5}{14} + \frac{15}{14}$. Comme les dénominateurs sont déjà identiques, il suffit d'additionner les numérateurs : $\frac{20}{14}$. On remarque que cette fraction peut être simplifiée par 2 pour obtenir $\frac{10}{7}$, mais la réponse proposée dans le QCM est directement $\frac{20}{14}$.

Analyse Question 5 : Configuration de Thalès

La figure présente deux triangles emboîtés ALM et ACB avec des droites (ML) et (BC) parallèles. C'est la configuration typique du théorème de Thalès. Les rapports de proportionnalité sont : $\frac{AL}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{ML}{BC}$.

Attention au piège sur la longueur AC ! AC n'est pas égal à 4,5 mais à $AL + LC$, soit $3 + 4,5 = 7,5$ mètres. On cherche la hauteur du poteau ML. On utilise l'égalité : $\frac{3}{7,5} = \frac{ML}{3}$. Par un produit en croix, on obtient $ML = \frac{3 \times 3}{7,5} = \frac{9}{7,5} = 1,2$ mètre.

Les Pièges à éviter

1. **L'unité et les segments** : Dans la question de Thalès, ne pas additionner $AL$ et $LC$ pour obtenir $AC$ est l'erreur la plus fréquente. 2. **La distributivité** : En calcul littéral, $x(x+2)$ ne fait pas $x^2 + 2$. Le facteur $x$ s'applique à tous les termes de la parenthèse. 3. **Les priorités** : Ne jamais faire l'addition avant la multiplication dans un calcul fractionnaire complexe.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si ce QCM précise qu'aucune justification n'est demandée, il est fortement conseillé d'effectuer ses calculs au brouillon de manière structurée. Pour une question de type Thalès, écris toujours l'égalité des trois rapports. Cela te permet de visualiser les données connues et l'inconnue. Pour les fractions, simplifie au maximum tes résultats intermédiaires si nécessaire, même si ici la forme non simplifiée était attendue. Enfin, relis bien l'énoncé : un point perdu sur une lecture rapide d'une consigne est regrettable !