Introduction aux Probabilités au Brevet des Collèges
L'exercice 1 du sujet du Brevet 2017 de la zone Métropole porte sur une notion centrale du programme de troisième : les probabilités. Cet exercice est structuré pour évaluer trois compétences fondamentales : la compréhension de l'événement contraire, la notion d'indépendance des événements lors d'un tirage avec remise, et le lien entre probabilité et effectif total. Maîtriser ces concepts est indispensable car ils représentent généralement entre 5 et 10 points sur le total de l'épreuve de mathématiques. Dans cet exercice, nous travaillons avec une urne contenant des boules vertes et bleues, un modèle classique pour introduire les expériences aléatoires à une étape répétée.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
L'énoncé stipule un point crucial : « On replace ensuite la boule dans l'urne et on mélange les boules ». En mathématiques, cela s'appelle une expérience avec remise. Cette précision garantit que la composition de l'urne reste identique à chaque tirage. Par conséquent, les probabilités de tirer une boule d'une certaine couleur ne changent jamais, peu importe le nombre de tirages effectués précédemment.
Analyse de la Question 1 : L'Événement Contraire
La question demande d'expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir une boule bleue est de $\dfrac{3}{5}$. Dans cette expérience, il n'y a que deux issues possibles : tirer une boule verte ou tirer une boule bleue. Ces deux événements sont dits complémentaires ou contraires. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1. Si l'on note $V$ l'événement « obtenir une boule verte » et $B$ l'événement « obtenir une boule bleue », nous avons la relation : $P(V) + P(B) = 1$. Sachant que $P(V) = \dfrac{2}{5}$, on en déduit que $P(B) = 1 - \dfrac{2}{5}$. En mettant au même dénominateur, $1$ devient $\dfrac{5}{5}$, donc $P(B) = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$. La justification repose sur le fait que l'urne ne contient que ces deux couleurs.
Analyse de la Question 2 : L'Indépendance et le Mythe de la Chance
La deuxième question est un piège classique qui teste votre compréhension de l'indépendance des événements. Paul a déjà tiré 6 boules vertes. L'erreur fréquente est de penser que « la roue va tourner » et qu'une boule bleue est « due » au 7ème tirage. Cependant, comme il s'agit d'un tirage avec remise, l'urne au 7ème tirage est exactement la même qu'au premier. La probabilité d'obtenir une boule verte reste $\dfrac{2}{5}$ (soit 0,4 ou 40%) et celle d'obtenir une boule bleue reste $\dfrac{3}{5}$ (soit 0,6 ou 60%). Comparons les deux : $\dfrac{3}{5} > \dfrac{2}{5}$. Par conséquent, Paul a toujours plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte, malgré sa série de boules vertes précédentes. Les tirages n'ont pas de mémoire.
Analyse de la Question 3 : Lien entre Probabilité et Effectif
Ici, on passe de la probabilité théorique à la réalité du contenu de l'urne. On sait que $P(V) = \dfrac{2}{5}$ et que le nombre de boules vertes est de 8. La probabilité est définie par le rapport : $\text{Nombre d'issues favorables} / \text{Nombre total d'issues}$. Soit $N$ le nombre total de boules dans l'urne. Nous avons l'égalité : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{N}$. Pour trouver $N$, on utilise le produit en croix : $2 \times N = 5 \times 8$, donc $2N = 40$, ce qui donne $N = 20$. Il y a 20 boules au total. Pour trouver le nombre de boules bleues, on soustrait les vertes du total : $20 - 8 = 12$. Vérification : $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{3}{5}$, ce qui correspond bien à la probabilité calculée à la question 1.
Les Pièges à Éviter
Attention à ne pas oublier que l'urne contient des boules « vertes ET bleues ». Ne supposez jamais le nombre total de boules au départ si l'énoncé ne le donne pas. Le piège le plus redoutable reste celui de la question 2 : la confusion entre une série statistique observée (les 6 tirages de Paul) et la probabilité théorique. Au Brevet, rappelez-vous que dans une expérience avec remise, les probabilités sont constantes.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir tous les points, structurez vos réponses. Pour la question 1, citez la règle : « La somme des probabilités est égale à 1 ». Pour la question 2, utilisez le mot clé « indépendance » ou expliquez que la composition de l'urne ne change pas. Pour la question 3, montrez clairement votre calcul de proportionnalité ou votre produit en croix. Une réponse sans calcul ou sans justification ne rapporte qu'une partie des points, même si le résultat est juste.