Introduction aux notions du Brevet 2017

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet 2017 (Série Générale - Métropole) est une épreuve de type 'Vrai ou Faux' avec justification. Ce format est particulièrement apprécié par les correcteurs car il teste non seulement ta capacité de calcul, mais aussi ta rigueur de raisonnement. Les thèmes abordés ici sont fondamentaux pour le programme de 3ème : le calcul littéral via les programmes de calcul, les opérations sur les fractions, la résolution d'équations et une initiation à l'arithmétique avec les nombres premiers.

Analyse de l'Affirmation 1 : Le Programme de Calcul et le Calcul Littéral

La première affirmation nous présente un programme de calcul classique. Pour prouver qu'une affirmation est 'toujours' vraie en mathématiques, il ne suffit pas de tester un chiffre au hasard comme 2 ou 10. Il faut utiliser une variable, généralement $x$, pour modéliser le programme. Suivons les étapes :
1. Choisir un nombre : $x$
2. Ajouter 3 : $x + 3$
3. Multiplier le résultat par 2 : $2(x + 3)$
4. Soustraire le double du nombre de départ : $2(x + 3) - 2x$.
En développant l'expression avec la distributivité simple, on obtient $2x + 6 - 2x$. Les termes en $x$ s'annulent ($2x - 2x = 0$), et il ne reste que 6. L'affirmation est donc VRAIE. Ce type de question montre l'utilité du calcul littéral pour démontrer des propriétés invariantes.

Analyse de l'Affirmation 2 : Fractions et Priorités Opératoires

L'affirmation 2 porte sur le calcul $\dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3}$. Le piège classique ici est de vouloir soustraire les deux premières fractions avant de multiplier. Rappelle-toi la règle d'or : la priorité opératoire va à la multiplication !
On calcule d'abord $\dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4 \times 1}{5 \times 3} = \dfrac{4}{15}$.
Ensuite, on effectue la soustraction : $\dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{15}$. Pour soustraire, il faut un dénominateur commun. Comme 15 est un multiple de 5 ($5 \times 3$), on transforme $\dfrac{7}{5}$ en $\dfrac{21}{15}$.
Le calcul final est $\dfrac{21}{15} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{17}{15}$.
Comme $\dfrac{17}{15}$ n'est pas égal à $\dfrac{1}{5}$ (qui vaudrait $\dfrac{3}{15}$), l'affirmation est FAUSSE.

Analyse de l'Affirmation 3 : Équations du premier degré et second degré

Ice, nous devons vérifier si la solution de la première équation est aussi solution de la deuxième.
Résolvons $4x - 5 = x + 1$ :
On regroupe les $x$ : $4x - x = 1 + 5$, soit $3x = 6$, donc $x = 2$.
Maintenant, vérifions si $x = 2$ est solution de $x^2 - 2x = 0$.
En remplaçant $x$ par 2, on obtient $2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$. Le résultat est nul, donc 2 est bien une solution. L'affirmation est VRAIE. Note pédagogique : l'équation $x^2 - 2x = 0$ est une équation produit nul qui peut se factoriser en $x(x - 2) = 0$, admettant donc deux solutions : 0 et 2.

Analyse de l'Affirmation 4 : Nombres Premiers et Contre-exemple

L'affirmation 4 avance que pour tout $n$ entre 2 et 9, $2^n - 1$ est premier. Pour infirmer une telle proposition universelle, il suffit de trouver un contre-exemple.
Testons pour $n = 2$ : $2^2 - 1 = 3$ (Premier).
Testos pour $n = 3$ : $2^3 - 1 = 7$ (Premier).
Testons pour $n = 4$ : $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
Or, 15 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 et par 5 ($15 = 3 \times 5$). L'affirmation est donc FAUSSE dès $n = 4$. Il n'est pas nécessaire de tester les autres valeurs jusqu'à 9.

Les Pièges à Éviter

• En calcul littéral : Ne pas oublier les parenthèses lors de la multiplication d'une somme. Dire 'multiplier le résultat par 2' signifie $2 \times (x + 3)$.
• Sur les fractions : Ne jamais oublier les priorités de la multiplication sur la soustraction. C'est l'erreur numéro 1 au Brevet.
• Sur les équations : Ne pas s'arrêter à la résolution de la première équation ; il faut réinjecter la valeur trouvée dans la seconde pour conclure.
• Sur l'arithmétique : Bien connaître la liste des premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...) pour identifier rapidement les contre-exemples.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ta copie doit être impeccable. Pour chaque affirmation :
1. Annonce clairement si l'affirmation est 'Vraie' ou 'Fausse'.
2. Détaille chaque étape de ton calcul ou de ton raisonnement.
3. Utilise des connecteurs logiques : 'Or', 'Donc', 'On en déduit que'.
4. Encadre ton résultat final. Un correcteur apprécie une réponse structurée qui montre que l'élève maîtrise la méthode scientifique : hypothèse, calcul, conclusion.