Introduction au Calcul Littéral et à la Modélisation Géométrique
Le calcul littéral est l'un des piliers des mathématiques au collège, particulièrement pour l'épreuve du Brevet des collèges. Cet exercice, issu de la session 2017 pour la zone Asie (Exercice 6), propose une approche concrète de l'algèbre à travers l'étude de motifs géométriques composés de carreaux de mosaïque. L'objectif est de passer d'une observation visuelle à une généralisation mathématique en utilisant des expressions littérales. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment transformer une situation concrète en une formule robuste.
Analyse de la Question 1 : Le Motif 4
Dans cette première étape, on nous demande de calculer le nombre de carreaux blancs pour un carré gris de côté 4. Le motif est construit en entourant un carré gris central par une bordure de carreaux blancs. Pour un carré gris de côté $n = 4$, les dimensions totales du motif (gris + blanc) seront augmentées de un carreau de chaque côté. Ainsi, le grand carré total aura un côté de $n + 2$, soit $4 + 2 = 6$.
Pour trouver le nombre de carreaux blancs, deux méthodes de raisonnement s'offrent à l'élève :
- Méthode soustractive : On calcule l'aire totale et on soustrait l'aire grise. Aire totale = $6 \times 6 = 36$. Aire grise = $4 \times 4 = 16$. Carreaux blancs = $36 - 16 = 20$.
- Méthode additive : On compte les carreaux sur les bords. On a deux lignes de 6 carreaux (haut et bas) et deux colonnes de 4 carreaux (les côtés restants). $2 \times 6 + 2 \times 4 = 12 + 8 = 20$.
Pour le motif 4, Gaspard utilisera donc 20 carreaux blancs.
Analyse de la Question 2 : Le cas de 144 carreaux gris
La question 2a nous demande de justifier pourquoi il est possible de réaliser un motif avec exactement 144 carreaux gris. En mathématiques, la structure d'un carré impose que le nombre d'éléments qui le composent soit un carré parfait. On cherche donc si 144 est le carré d'un nombre entier. En calculant la racine carrée de 144, on obtient $\sqrt{144} = 12$. Puisque 12 est un nombre entier, il est tout à fait possible de former un carré parfait de 12 carreaux de côté. Gaspard réalisera donc le motif 12.
Pour la question 2b, il s'agit de calculer les carreaux blancs pour ce motif $n = 12$. En reprenant la méthode soustractive établie précédemment : le côté total du motif est $12 + 2 = 14$. Le nombre de carreaux blancs est donc $14^2 - 12^2 = 196 - 144 = 52$. Gaspard utilisera 52 carreaux blancs pour border ses 144 carreaux gris.
Analyse de la Question 3 : Identification de l'expression erronée
C'est ici que le calcul littéral prend tout son sens. Trois élèves proposent des formules pour le nombre de carreaux blancs en fonction de $n$ (le côté du carré gris). Analysons-les :
- Expression 1 : $2 \times n + 2 \times (n + 2)$. Si on développe, on obtient $2n + 2n + 4 = 4n + 4$. Cette formule correspond à la méthode additive (deux côtés de $n$ et deux côtés de $n+2$ pour inclure les coins). Elle est correcte.
- Expression 3 : $4 \times (n + 2) - 4$. Si on développe, on obtient $4n + 8 - 4 = 4n + 4$. Cette formule correspond au périmètre extérieur où l'on aurait compté les 4 coins deux fois, d'où la soustraction de 4. Elle est correcte.
- Expression 2 : $4 \times (n + 2)$. En développant, on obtient $4n + 8$. Cette expression est différente des deux autres. Si on la teste avec $n=1$, elle donne $4 \times 3 = 12$, or le motif 1 ne possède que 8 carreaux blancs.
L'expression qui ne convient pas est donc l'Expression n°2. Elle commet l'erreur classique de compter les quatre coins du carré deux fois sans corriger le surplus.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal dans cet exercice de géométrie lié au calcul littéral est la gestion des coins. Lorsqu'on calcule un périmètre ou une bordure, il est fréquent de compter les sommets deux fois si l'on multiplie simplement le côté par quatre. Il est crucial de toujours vérifier sa formule avec des valeurs simples (comme $n=1$ ou $n=2$) pour s'assurer de sa validité. Un autre piège est l'oubli de la priorité des opérations lors du développement des parenthèses dans la question 3.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points :
- Annoncez la méthode : Précisez si vous calculez une différence d'aires ou une somme de côtés.
- Détaillez les calculs : Ne donnez pas seulement le résultat 52, mais écrivez $14^2 - 12^2$.
- Justifiez par l'exemple : Pour la question 3, l'utilisation d'un contre-exemple (tester avec $n=1$) est une méthode de preuve rapide et acceptée qui montre votre sens logique.
- Utilisez le vocabulaire précis : Employez les termes "carré parfait", "expression littérale" et "développement".