Introduction : Les Grandeurs Composées et le Marathon au Brevet

Dans le cadre de la préparation au Diplôme National du Brevet (DNB), l'exercice portant sur les grandeurs composées est un incontournable. Le sujet de Polynésie 2017, exercice 5, nous plonge dans l'univers de l'athlétisme avec l'épreuve mythique du marathon. Les notions fondamentales abordées ici sont les vitesses moyennes et les durées. L'objectif pour l'élève de 3ème est de démontrer sa maîtrise de la relation $v = \frac{d}{t}$, tout en jonglant avec des conversions complexes entre le système sexagésimal (heures, minutes, secondes) et le système décimal. Cette analyse détaillée vous guidera à travers les étapes de résolution et les subtilités mathématiques attendues par les correcteurs.

Analyse Méthodique : Guide de Résolution Pas à Pas

Question 1 : L'art de l'estimation et de l'ordre de grandeur

La première question est un test de bon sens mathématique. On nous donne une distance $d = 42,195$ km et un temps $t = 2\text{ h } 2\text{ min } 57\text{ s}$. Sans même sortir la calculatrice, l'élève doit être capable d'estimer un ordre de grandeur.
En arrondissant la distance à $40$ km et le temps à $2$ heures, le calcul mental est simple : $40 / 2 = 20$. Par conséquent, la réponse cohérente est $20$ km/h.
Pourquoi les autres choix sont-ils faux ? Une vitesse de $5$ km/h correspond à une marche rapide, tandis que $10$ km/h est le rythme d'un jogging amateur. Pour un record du monde, seul le $20$ km/h est plausible.

Question 2 : Calcul précis de la vitesse moyenne de Scott Overall

Ici, on quitte l'estimation pour le calcul rigoureux. Scott Overall réalise le marathon en $2\text{ h } 15\text{ min}$.
Le piège à éviter absolument : Ne jamais diviser par $2,15$ ! Le temps doit être converti en heures décimales.
Nous savons que $15$ minutes correspondent à un quart d'heure, soit $0,25$ h. Le temps total est donc $t = 2,25$ heures.
En utilisant la formule $v = \frac{d}{t}$, nous obtenons : $v = \frac{42,195}{2,25}$.
Le calcul donne $18,75333...$ km/h. L'énoncé demande un arrondi au centième, ce qui nous donne $18,75$ km/h.

Question 3 : Cinématique et comparaison de performances

Cette question se divise en deux parties et demande une analyse de la situation au moment précis où Kimetto franchit la ligne.
a) Le temps restant : Scott Overall court en $2\text{ h } 15\text{ min } 00\text{ s}$ et Kimetto en $2\text{ h } 02\text{ min } 57\text{ s}$. La différence est de $12\text{ min } 03\text{ s}$ ($15\text{ min } - 2\text{ min } 57\text{ s} = 12\text{ min } 03\text{ s}$).
b) La distance restante : Pour calculer la distance qu'il reste à Scott Overall, nous devons utiliser sa vitesse (calculée à la question précédente) et le temps qu'il lui reste à courir.
Convertissons $12\text{ min } 03\text{ s}$ en heures décimales : $12 / 60 + 3 / 3600 \approx 0,200833$ h.
Ensuite, $d = v \times t = 18,7533... \times 0,200833...$.
On peut aussi utiliser une simple soustraction de distances si l'on considère le trajet parcouru par Scott en $2\text{ h } 02\text{ min } 57\text{ s}$.
Le résultat final attendu, arrondi au mètre près, est d'environ $3766$ mètres ou $3,766$ km.

Les Pièges Classiques à Déjouer

Le premier piège, et le plus fréquent au Brevet, est la confusion entre les durées en minutes et les valeurs décimales. Rappelez-vous toujours que $0,5$ heure n'est pas $50$ minutes, mais bien $30$ minutes. Pour passer des minutes aux heures, on divise par $60$.
Le second piège concerne les arrondis. Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs intermédiaires (par exemple en prenant $18,75$ au lieu de la valeur exacte pour la question 3), vous risquez d'obtenir une erreur de plusieurs mètres sur le résultat final. Gardez les valeurs en mémoire de votre calculatrice.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez toujours la formule utilisée ($v = d/t$).
2. Précisez les unités à chaque étape de votre raisonnement.
3. Faites une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée, en respectant les consignes d'arrondi (mètre, centième, etc.).
La clarté de votre copie montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique physique du problème.