Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

Cet exercice issu de la session 2017 (zone Amérique du Sud) est un modèle d'épreuve transversale. Il mobilise des compétences variées : Arithmétique, Fractions, Calcul numérique, et la Réciproque du théorème de Pythagore. Le format 'Vrai ou Faux' est particulièrement exigeant car il ne suffit pas de deviner la réponse ; une justification rigoureuse est indispensable pour obtenir l'intégralité des points. Dans ce guide, nous allons décomposer chaque affirmation pour comprendre la logique mathématique sous-jacente.

Analyse de l'Affirmation 1 : Multiples et Arithmétique

L'affirmation porte sur l'existence de multiples communs entre 11 et 13. En arithmétique, tout couple de nombres entiers possède une infinité de multiples communs. Le plus petit d'entre eux est le PPCM (Plus Petit Commun Multiple). Ici, 11 et 13 étant des nombres premiers entre eux, leur premier multiple commun est simplement leur produit : $11 \times 13 = 143$. Dire qu'ils n'en ont 'aucun' est une erreur conceptuelle grave. Il faut bien distinguer 'diviseur commun' et 'multiple commun'. L'affirmation est donc Fausse.

Analyse de l'Affirmation 2 : Les Nombres Premiers

On nous demande si 231 est un nombre premier. Un nombre premier n'est divisible que par 1 et par lui-même. Pour vérifier cela, on utilise les critères de divisibilité. La somme des chiffres de 231 est $2 + 3 + 1 = 6$. Puisque 6 est un multiple de 3, alors 231 est divisible par 3 ($231 = 3 \times 77$). Possédant un diviseur autre que 1 et lui-même, 231 n'est pas premier. L'affirmation est Fausse. Astuce : vérifiez toujours les critères de 2, 3 et 5 en priorité lors du Brevet.

Analyse de l'Affirmation 3 : Fractions et Proportionnalité

Prendre le tiers d'un nombre revient à multiplier ce nombre par $\dfrac{1}{3}$. L'affirmation propose que $\dfrac{2}{15}$ est le tiers de $\dfrac{6}{15}$. Calculons : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{15} = \dfrac{1 \times 6}{3 \times 15} = \dfrac{6}{45}$. En simplifiant cette fraction par 3, on obtient : $\dfrac{6 \div 3}{45 \div 3} = \dfrac{2}{15}$. Le calcul confirme l'énoncé. L'affirmation est Vraie.

Analyse de l'Affirmation 4 : Priorités Opératoires

L'expression est $15 - 5 \times 7 + 3$. Selon les règles de priorité (PEMDAS/BODMAS), la multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. On doit donc calculer $5 \times 7 = 35$ en premier. L'expression devient : $15 - 35 + 3$. En effectuant les calculs de gauche à droite : $15 - 35 = -20$, puis $-20 + 3 = -17$. L'affirmation annonçait 73, ce qui est erroné (cela correspondrait à faire $(15-5) \times (7+3)$). L'affirmation est Fausse.

Analyse de l'Affirmation 5 : Géométrie et Théorème de Pythagore

Pour vérifier si le triangle ABC est rectangle en B, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Le côté le plus long est AC = 7,5 cm. Calculons les carrés : $AC^2 = 7,5^2 = 56,25$. D'autre part, la somme des carrés des deux autres côtés est $AB^2 + BC^2 = 4,5^2 + 6^2 = 20,25 + 36 = 56,25$. On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est bien rectangle en B. L'affirmation est Vraie.

Les Pièges Classiques à éviter

Lors de cet exercice, plusieurs erreurs types peuvent coûter des points :
1. Confondre 'nombre premier' et 'nombre impair' (beaucoup d'élèves pensent à tort que 231 est premier car il est impair).
2. Oublier la priorité de la multiplication dans l'affirmation 4 et calculer linéairement.
3. Ne pas rédiger correctement la réciproque de Pythagore : il faut toujours séparer les calculs du carré de l'hypoténuse et de la somme des carrés avant de conclure à l'égalité.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour chaque affirmation, structurez votre réponse en trois temps :
1. **Annonce** : 'L'affirmation est [Vraie/Fausse]'.
2. **Preuve** : Effectuez le calcul ou citez la propriété (ex: critère de divisibilité par 3).
3. **Conclusion** : 'Donc, l'affirmation est vérifiée/erronée'. Une justification sans calcul ou sans nom de théorème ne rapporte généralement aucun point, même si le résultat final est correct.