Analyse de l'énoncé : Cylindre, Débit et Modélisation

Cet exercice du Brevet 2024 (Polynésie) est un excellent exemple d'application concrète des mathématiques, sollicitant simultanément la géométrie dans l'espace, la gestion des unités de temps (grandeurs composées) et l'analyse fonctionnelle. Le scénario est simple : vider une piscine cylindrique à l'aide d'une pompe au débit constant.

Points clés de la résolution

• Calcul du Volume (Question 1) : La première étape cruciale est d'appliquer la formule du volume d'un cylindre : $V = \pi \times R^2 \times H$. Avec $R=3,60$~m et $H=1,50$~m, le calcul conduit à $V \approx 61,07$ m$^3$, ce qui est bien arrondi à 61,1 m$^3$ au dixième.
• Conversion d'Unités (Question 3.a) : L'erreur fréquente est d'oublier de synchroniser les unités. Le débit est donné en m³/heure (14,1 m³/h), mais la fonction $V(t)$ utilise $t$ en minutes. Il est impératif de convertir le débit : $\frac{14,1}{60} = 0,235$ m³/min. Ce taux représente la pente (ou coefficient directeur) de la fonction linéaire modélisant la diminution du volume.
• Définition de la Fonction Linéaire : La fonction $V(t) = V_{initial} - \text{Débit}_{\text{min}} \times t$ permet de déterminer le volume restant. On obtient $V(t) = 61,1 - 0,235 t$. C'est une fonction affine décroissante, ce qui est logique puisque le volume diminue au fil du temps.
• Résolution Algébrique (Question 3.b) : Pour trouver le temps nécessaire pour qu'il reste 30 m³, nous devons résoudre l'équation $61,1 - 0,235 t = 30$. Cette résolution d'équation du premier degré est fondamentale pour le niveau 3ème. La solution trouvée ($t \approx 132$ min) doit être interprétée comme la durée d'utilisation de la pompe.
• Lecture Graphique (Question 4) : Les dernières questions testent la capacité à interpréter la représentation graphique d'une fonction. Déterminer l'antécédent de 40 revient à trouver l'instant où $V(t)=40$. Déterminer le temps de vidange complète correspond à chercher la racine de la fonction, c'est-à-dire l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ($V(t)=0$).

La réussite de cet exercice repose sur une rigueur méthodologique, notamment dans la gestion des unités de temps, souvent piègeuses lors du passage du taux horaire au taux par minute.