Introduction aux notions de pente dans le Brevet de Mathématiques
L'exercice 6 du sujet de Brevet 2017 à Pondichéry est un classique indémodable qui mobilise deux piliers du programme de géométrie de 3ème : le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Cet exercice est particulièrement intéressant car il ancre les mathématiques dans une situation concrète : la sécurité routière et la topographie. La notion de pente, exprimée en pourcentage, demande une compréhension fine du rapport entre dénivelé vertical et déplacement horizontal. En mathématiques, cela correspond exactement à la définition de la tangente d'un angle dans un triangle rectangle. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de connaître ses formules, il faut savoir laquelle appliquer selon les données fournies : longueurs des côtés ou mesure d'angle.
Analyse Méthodique de l'Exercice : Calculer et Comparer
L'objectif central est de classer trois pentes par ordre décroissant. Voici le décryptage étape par étape pour chaque situation présentée dans l'énoncé de Pondichéry.
1. La route du château des Adhémar : Lecture directe
Ici, aucune difficulté majeure de calcul. L'énoncé nous donne une illustration d'un panneau de signalisation routière indiquant une pente de 24%. En mathématiques, cela signifie que pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 24 mètres. Nous gardons cette valeur de $24\%$ comme référence pour notre classement final.
2. Le col du Grand Colombier : L'usage indispensable de Pythagore
Pour cette route, nous connaissons le dénivelé ($280$ m) et la longueur de la route elle-même ($1,5$ km). Attention au piège classique des unités ! Avant tout calcul, il faut convertir $1,5$ km en $1500$ mètres. Dans le schéma, la route représente l'hypoténuse du triangle rectangle. Or, la définition de la pente donnée par l'énoncé est : $\frac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}}$.
Pour trouver le déplacement horizontal, nous devons appliquer le théorème de Pythagore. Si on note $x$ le déplacement horizontal, nous avons l'égalité suivante : $x^2 + 280^2 = 1500^2$. En isolant $x^2$, on obtient $x^2 = 1500^2 - 280^2$, soit $x^2 = 2\,250\,000 - 78\,400 = 2\,171\,600$. Ainsi, $x = \sqrt{2\,171\,600} \approx 1473,6$ mètres. Maintenant que nous avons le déplacement horizontal, calculons la pente : $\text{Pente} = \frac{280}{1473,6} \approx 0,19$, soit environ $19\%$.
3. L'Alto de l'Angliru : La puissance de la Trigonométrie
Dans ce troisième cas, les données changent. Nous avons le déplacement horizontal ($146$ m) et l'angle d'inclinaison de la route par rapport à l'horizontale ($12,4^\circ$). Nous ne connaissons pas le dénivelé. C'est ici que la trigonométrie intervient. Par définition, dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est égale au quotient du côté opposé (le dénivelé) par le côté adjacent (le déplacement horizontal).
Nous avons donc : $\tan(12,4^\circ) = \frac{\text{dénivelé}}{146}$. Pour trouver la pente sous forme décimale, il suffit de se rappeler que $\frac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}}$ est exactement égal à la valeur de la tangente de l'angle. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\tan(12,4^\circ) \approx 0,2198$. En multipliant par 100 pour obtenir un pourcentage, nous arrivons à une pente d'environ $22\%$.
Synthèse et Classement Final
Après nos calculs, nous obtenons les résultats suivants :
1. Château des Adhémar : $24\%$
2. Alto de l'Angliru : $\approx 22\%$
3. Grand Colombier : $\approx 19\%$
L'ordre décroissant est donc : Route du château des Adhémar > Alto de l'Angliru > Col du Grand Colombier.
Les Pièges à Éviter pour le Jour J
Plusieurs erreurs peuvent coûter des points sur ce type d'exercice au Brevet. Premièrement, la confusion des côtés : la pente n'est pas le sinus de l'angle (opposé/hypoténuse), mais bien la tangente (opposé/adjacent). Dans le cas du Grand Colombier, beaucoup d'élèves divisent le dénivelé par la longueur de la route au lieu du déplacement horizontal. Deuxièmement, les unités : mélanger les kilomètres et les mètres est fatal pour le résultat. Enfin, n'oubliez pas de mettre votre calculatrice en mode **Degrés** avant de calculer une tangente, sinon vos résultats de trigonométrie seront totalement erronés.
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Nommez vos triangles même s'ils ne le sont pas dans l'énoncé (ex: "Soit ABC le triangle rectangle en A..."). Citez explicitement le théorème de Pythagore et précisez que vous utilisez la calculatrice pour la tangente. Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la consigne : "On classe les pentes dans l'ordre décroissant : ...". Une rédaction rigoureuse rassure le correcteur sur votre maîtrise du raisonnement scientifique.