Introduction aux fondamentaux de la Géométrie au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2017 pour la zone Asie, est un modèle de synthèse pour les élèves de 3ème. Il regroupe les trois piliers du programme de géométrie du cycle 4 : le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès. L'objectif est de calculer la longueur d'un segment [AB] dans trois configurations distinctes. Chaque cas fait appel à une compétence spécifique que l'élève doit être capable d'identifier visuellement sur une figure non représentée en vraie grandeur.

Analyse du Cas 1 : La Maîtrise du Théorème de Pythagore

Dans le premier cas, nous sommes face à un triangle ABC dont on connaît deux côtés : l'hypoténuse CB = 85 cm et le côté AC = 51 cm. Le codage de la figure indique clairement un angle droit en A. Le raisonnement doit être immédiat : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour calculer AB, nous devons isoler son carré : AB² = CB² - AC². En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient AB² = 85² - 51², soit AB² = 7225 - 2601 = 4624. La racine carrée de 4624 nous donne exactement 68 cm. Ce cas teste la capacité à manipuler la réciproque ou la forme directe du théorème pour trouver un côté de l'angle droit.

Analyse du Cas 2 : L'Utilisation de la Trigonométrie

Le deuxième cas introduit une mesure d'angle et une longueur, nous plongeant au cœur de la trigonométrie. Nous connaissons l'hypoténuse CB = 9 cm et l'angle ACB qui mesure 62°. Nous cherchons le côté AB, qui est le côté opposé à l'angle donné. Le réflexe SOH CAH TOA est ici indispensable. Le sinus est le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse : sin(ACB) = AB / CB. Par conséquent, AB = CB * sin(ACB). En effectuant le calcul 9 * sin(62°), la calculatrice nous donne environ 7,946 cm. En observant les propositions, la réponse la plus proche est 'Environ 7,9 cm'. Ce cas souligne l'importance du réglage de la calculatrice en mode Degré.

Analyse du Cas 3 : La Configuration de Thalès

Le troisième scénario présente une configuration de Thalès. Les points A, B, E et C, B, D sont alignés, et les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires à la même droite (AE), ce qui prouve leur parallélisme. Nous sommes dans une configuration en 'nœud papillon' ou 'croisée'. Le théorème de Thalès permet d'écrire l'égalité des rapports : BA / BE = BC / BD = AC / DE. On utilise le rapport connu AC/DE = 8/5 et le rapport cherché AB/BE = AB/7. On applique le produit en croix : AB = (8 * 7) / 5 = 56 / 5 = 11,2 cm. La précision du raisonnement sur le parallélisme est la clé ici.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le piège principal réside dans la confusion des outils. Utiliser Thalès alors qu'on manque de parallèles, ou la trigonométrie sur un triangle non rectangle sont des erreurs fatales. Attention également aux unités : assure-toi qu'elles soient homogènes avant de calculer. Un autre point de vigilance est l'arrondi : au Brevet, une erreur d'arrondi peut coûter des points, lisez bien la consigne pour savoir si une valeur exacte ou approchée est demandée.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour la question 2, la rédaction doit être rigoureuse. Pour Pythagore, commencez par : 'Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore...'. Pour Thalès, citez impérativement l'alignement des points et le parallélisme des droites. Une figure bien analysée et une méthode clairement énoncée garantissent le maximum de points auprès du correcteur. N'oubliez pas de conclure par une phrase réponse soulignée.