Introduction aux notions de programmes de calcul et fonctions

Cet exercice issu du Brevet 2017 (Caledonie) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il fait le pont entre le calcul littéral pur (via un programme de calcul) et la modélisation mathématique par les fonctions. L'objectif est de transformer une suite d'instructions en une expression algébrique de la forme $f(x) = ax + b$, ce qu'on appelle une fonction affine. Maîtriser ce passage du 'français' aux 'mathématiques' est essentiel pour obtenir le Diplôme National du Brevet avec mention.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une application numérique simple pour s'approprier le processus. En choisissant $4$, on applique scrupuleusement les étapes : $4 + 1 = 5$, puis $5^2 = 25$, et enfin $25 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. Cette étape est cruciale pour vérifier que vous avez bien compris la logique du programme.

Dans la deuxième partie, nous passons à l'abstraction avec la variable $x$. L'expression obtenue est $(x + 1)^2 - x^2$. C'est ici que vos connaissances sur les identités remarquables entrent en jeu. Pour prouver que le résultat est $2x + 1$, il faut développer $(x + 1)^2$ qui donne $x^2 + 2x + 1$. En soustrayant $x^2$, les termes au carré s'annulent, laissant une expression linéaire simple. Cette simplification montre que, quel que soit le nombre choisi, le programme revient simplement à doubler le nombre et ajouter un.

Étude de la fonction f(x) = 2x + 1

La question 3 transforme ce programme en une fonction $f$. On vous demande de calculer l'image de $0$. Rappelez-vous que 'calculer l'image' signifie remplacer $x$ par la valeur donnée. $f(0) = 2(0) + 1 = 1$. Graphiquement, cela correspond à l'ordonnée à l'origine, le point où la droite coupe l'axe vertical.

Pour déterminer l'antécédent de $5$, la démarche est inverse : on cherche $x$ tel que $f(x) = 5$. On résout l'équation $2x + 1 = 5$, ce qui donne $2x = 4$, soit $x = 2$. L'antécédent est la valeur de départ nécessaire pour obtenir le résultat $5$.

Construction Graphique et Lecture

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite. Pour la tracer, deux points suffisent. Vous pouvez utiliser les points calculés précédemment : $A(0; 1)$ et $B(2; 5)$. Une fois la droite tracée, la lecture graphique pour $x = -3$ consiste à partir de l'abscisse $-3$ sur l'axe horizontal, monter ou descendre jusqu'à la droite, puis lire la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées. Vous devriez trouver $-5$. N'oubliez jamais de laisser les pointillés de construction (les traits de rappel) sur votre copie pour justifier votre lecture.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans le calcul du carré d'un nombre négatif. Si $x = -3$, alors $x^2$ est égal à $9$ et non $-9$. Un autre point de vigilance concerne la soustraction du carré de départ : assurez-vous de bien soustraire $x^2$ et non $(2x)^2$ ou toute autre variation. Enfin, dans la lecture graphique, ne confondez pas l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez toujours votre démarche : 'Je calcule l'image de 0 par la fonction f'.
2. Détaillez les étapes de résolution d'équation.
3. Sur le graphique, utilisez une règle et des couleurs différentes pour les traits de construction.
4. Concluez par une phrase claire : 'Le résultat obtenu en choisissant -3 est -5'.