Introduction aux Probabilités au Brevet des Collèges

Les probabilités constituent un chapitre incontournable du programme de mathématiques de 3ème. Elles font appel à la fois à la logique combinatoire et à la rigueur de la rédaction. Cet exercice, extrait du sujet du Brevet 2017 pour la zone Amérique du Sud (Ex 1), se concentre sur une situation classique de tirage dans une urne. L'objectif est de vérifier la maîtrise des notions d'équiprobabilité, de dénombrement et de modification de l'univers après une expérience (tirage sans remise). À travers cet exercice, nous allons décomposer chaque étape pour vous permettre de maximiser vos points le jour de l'épreuve.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

Dans cet exercice, nous avons une urne contenant huit boules. Il est précisé qu'elles sont indiscernables au toucher. Cette mention est capitale en mathématiques car elle garantit une situation d'équiprobabilité : chaque boule a exactement la même chance d'être tirée. Les numéros portés par les boules sont : $7, 7, 5, 2, 7, 6, 7, 4$.

Question 1 : Calcul de la probabilité de tirer un 7

La question demande la probabilité d'obtenir le numéro $7$. Pour résoudre ce type de problème, on utilise la formule fondamentale de Laplace : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$.
1. Nombre total de cas possibles : Il y a $8$ boules au total dans l'urne.
2. Nombre de cas favorables : En comptant les boules, on observe que le numéro $7$ apparaît quatre fois.
Le calcul est donc : $P(7) = \frac{4}{8}$. On simplifie toujours une fraction si possible : $P(7) = \frac{1}{2} = 0,5$. Il y a donc une chance sur deux de tirer un $7$.

Question 2 : Comparaison des numéros pairs et impairs

Wacim affirme qu'il a plus de chances de tirer un numéro pair qu'un numéro impair. Vérifions cela par le calcul des effectifs.
- Numéros pairs présents dans l'urne : $2, 6, 4$. Il y a donc $3$ cas favorables.
- Numéros impairs présents dans l'urne : $7, 7, 5, 7, 7$. Il y a donc $5$ cas favorables.
Puisque $5 > 3$, il y a plus de numéros impairs que de numéros pairs. Par conséquent, la probabilité de tirer un numéro impair ($P = \frac{5}{8}$) est supérieure à celle de tirer un numéro pair ($P = \frac{3}{8}$). Wacim a donc tort.

Question 3 : Le tirage sans remise (Probabilité conditionnelle)

C'est ici que la difficulté augmente légèrement. Wacim tire le numéro $5$ et ne le remet pas. L'univers de l'expérience change pour Baptiste qui tire ensuite.
- Nouvel effectif total : Il ne reste plus que $7$ boules dans l'urne ($8 - 1 = 7$).
- Nombre de boules portant le numéro 7 : Wacim a tiré le $5$, donc le nombre de boules portant le $7$ reste inchangé, soit $4$ boules.
La nouvelle probabilité pour Baptiste est donc : $P = \frac{4}{7}$.
Notez qu'ici, la probabilité a augmenté par rapport au premier tirage car le nombre total de boules a diminué alors que le nombre de cibles (les 7) est resté le même.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice de 2017 réside dans la lecture des symboles (dingbats) et dans l'oubli de la modification de l'effectif total à la question 3. Beaucoup d'élèves conservent le dénominateur $8$ par habitude. Or, un tirage sans remise implique mathématiquement une modification de l'univers de probabilité $\Omega$. De plus, ne confondez pas le 'numéro' porté par la boule avec la 'probabilité'. La probabilité est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir tous les points :
1. Citez la formule : "En situation d'équiprobabilité, la probabilité est égale au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles."
2. Détaillez vos listes : Listez clairement les numéros pairs et impairs pour justifier votre réponse à la question 2.
3. Donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée et, si besoin, sous forme décimale. Pour la question 3, $\frac{4}{7}$ est une valeur exacte préférable à une valeur approchée.