Introduction à la Trigonométrie et à la Géométrie du Brevet

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2017 en Polynésie est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine habilement la géométrie plane et la trigonométrie dans un contexte concret : l'étude de la visibilité dans une tribune de gymnase. Ce type de problème est particulièrement apprécié par les correcteurs car il demande à l'élève non seulement d'appliquer des formules mathématiques, mais aussi de modéliser une situation réelle à partir d'un schéma complexe. Nous allons décomposer ensemble les notions de triangle rectangle, d'angles alternes-internes (ou correspondants) et d'utilisation de la tangente pour réussir cette épreuve.

Question 1 : Maîtriser la Tangente dans le Triangle Rectangle

La première question nous demande de calculer la hauteur $BC$ de la tribune. Pour réussir, la première étape indispensable est d'identifier le triangle rectangle de travail. Ici, il s'agit du triangle $ABC$ rectangle en $B$. Pourquoi est-il rectangle ? Parce que la tribune (segment $[BC]$) est verticale et le sol (segment $[AB]$) est horizontal. Une fois le cadre posé, on liste les données : nous connaissons la longueur du côté adjacent à l'angle $\widehat{BAC}$ ($AB = 11$ m) et la mesure de l'angle lui-même ($30^{\circ}$). Nous cherchons le côté opposé $BC$.

La formule trigonométrique qui lie le côté opposé et le côté adjacent est la tangente : $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB}$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $\tan(30^{\circ}) = \frac{BC}{11}$. Par un simple produit en croix, $BC = 11 \times \tan(30^{\circ})$. À la calculatrice, cela nous donne environ $6,3508...$ m. En respectant la consigne d'arrondi au centième, on écrit $BC \approx 6,35$ m. Le conseil du prof : Vérifiez toujours que votre calculatrice est bien en mode 'Degrés' et non en 'Radians' ou 'Grades'.

Question 2 : Interpréter les Parallèles et les Angles

La deuxième question porte sur l'angle $\widehat{BRT}$. C'est une question de pure logique géométrique. L'énoncé précise que les points $R, S, T$ sont alignés sur une droite parallèle à l'inclinaison de la tribune $(AC)$. De plus, les points $R, A, B$ sont alignés sur l'horizontale. Par conséquent, les droites $(RT)$ et $(AC)$ sont parallèles. La droite $(RB)$ coupe ces deux parallèles.

Les angles $\widehat{BRT}$ et $\widehat{BAC}$ sont donc des angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante. En géométrie plane, si deux droites sont parallèles, alors leurs angles correspondants ont la même mesure. Ainsi, $\widehat{BRT} = \widehat{BAC} = 30^{\circ}$. Cette question est souvent sous-estimée, mais elle nécessite une justification claire pour obtenir l'intégralité des points.

Question 3 : Calculer la Distance de Masquage RA

Cette dernière partie est la plus technique. On cherche la longueur $RA$. Pour cela, nous allons travailler dans le grand triangle rectangle $RBT$, rectangle en $B$. Nous connaissons maintenant l'angle $\widehat{BRT} = 30^{\circ}$. Quelle est la longueur $BT$ ? C'est la somme de la hauteur de la tribune $BC$ et de la taille du spectateur $CT$ : $BT = BC + CT = 6,35 + 0,80 = 7,15$ m.

À nouveau, nous utilisons la tangente dans le triangle $RBT$ : $\tan(\widehat{BRT}) = \frac{BT}{RB}$. Donc $\tan(30^{\circ}) = \frac{7,15}{RB}$. On en déduit $RB = \frac{7,15}{\tan(30^{\circ})} \approx 12,384$ m. Pour trouver $RA$, il suffit de soustraire la largeur de la tribune $AB$ à la longueur totale $RB$ : $RA = RB - AB = 12,384 - 11 = 1,384$ m. L'énoncé demande le résultat en centimètres arrondi à l'unité : $1,384$ m $\approx 138$ cm. Attention : L'erreur fréquente est d'oublier de convertir les $80$ cm du spectateur en $0,80$ m avant de faire l'addition !

Les Pièges Classiques à Éviter

1. Le mélange des unités : C'est le piège numéro 1. Vous avez des mètres ($11$ m) et des centimètres ($80$ cm). Choisissez une unité (le mètre est préférable ici) et convertissez tout avant de commencer vos calculs.
2. La confusion entre Sinus, Cosinus et Tangente : Rappelez-vous du moyen mnémotechnique 'SOH CAH TOA'. Ici, sans l'hypoténuse, seule la tangente ('TOA') est utile.
3. L'arrondi prématuré : Ne travaillez pas avec $6,35$ pour la question 3 si vous pouvez garder la valeur exacte $11 \tan(30^{\circ})$ dans votre calculatrice, car cela peut créer des erreurs d'arrondi sur le résultat final.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour chaque question, suivez toujours ce plan :
1. Nommez le triangle et précisez qu'il est rectangle.
2. Citez la formule utilisée (ex : 'Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :').
3. Effectuez l'application numérique.
4. Donnez la phrase de conclusion avec l'unité et l'arrondi demandés. Une copie propre et structurée permet au correcteur de vous attribuer des points même si vous faites une petite erreur de calcul.