Introduction au Calcul Littéral au Brevet des Collèges

Le calcul littéral constitue l'un des piliers fondamentaux de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Il ne s'agit pas seulement de manipuler des lettres et des chiffres, mais de comprendre la structure profonde des expressions algébriques. Dans cet exercice de la session 2017 à Pondichéry, nous sommes confrontés à une expression $E = (x - 2)(2x + 3) - 3(x - 2)$ qui synthétise trois compétences essentielles : le développement, la factorisation et la résolution d'équations. Ces notions sont interdépendantes ; une erreur dans le développement peut compromettre la vérification, tandis qu'une mauvaise factorisation rendra la résolution de l'équation finale complexe, voire impossible. Maîtriser le calcul littéral, c'est s'assurer une base solide pour tout le raisonnement algébrique requis au lycée.

Analyse Méthodique : Question 1 - Le Développement

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme d'additions ou de soustractions. Pour l'expression $E = (x - 2)(2x + 3) - 3(x - 2)$, la difficulté réside dans la présence de deux blocs distincts. Le premier bloc, $(x - 2)(2x + 3)$, nécessite l'application de la double distributivité. Selon la règle $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$, nous obtenons : $x \times 2x + x \times 3 - 2 \times 2x - 2 \times 3$, ce qui se simplifie en $2x^2 + 3x - 4x - 6$, soit $2x^2 - x - 6$. Le second bloc, $- 3(x - 2)$, est une distributivité simple. Attention au signe négatif devant le 3 ! Il faut multiplier chaque terme de la parenthèse par $-3$. Ainsi, $-3 \times x$ donne $-3x$ et $-3 \times (-2)$ donne $+6$. En regroupant tout, nous avons $E = (2x^2 - x - 6) - 3x + 6$. En réduisant les termes semblables, les constantes $-6$ et $+6$ s'annulent, et $-x - 3x$ devient $-4x$. Le résultat final est donc $E = 2x^2 - 4x$. Ce processus exige une rigueur extrême, car une simple erreur de signe sur une constante peut fausser l'intégralité de l'exercice.

Analyse Méthodique : Question 2 - Factorisation et Vérification

La factorisation est l'opération inverse du développement : on transforme une somme en un produit. Pour factoriser $E = (x - 2)(2x + 3) - 3(x - 2)$, la méthode la plus efficace consiste à identifier un facteur commun. Ici, le bloc $(x - 2)$ apparaît de chaque côté du signe moins. En le mettant en facteur, on écrit : $E = (x - 2) [(2x + 3) - 3]$. À l'intérieur des crochets, la simplification est immédiate : $2x + 3 - 3$ devient simplement $2x$. On obtient donc $E = (x - 2) \times 2x$, ou plus élégamment $E = 2x(x - 2)$. L'énoncé nous demande ensuite de vérifier que $E = 2F$ avec $F = x(x - 2)$. En multipliant $F$ par 2, on retrouve bien $2 \times x(x - 2) = 2x(x - 2)$, ce qui confirme la justesse de notre factorisation. Cette étape de vérification est un cadeau de l'examinateur : elle permet à l'élève de savoir s'il a réussi la question précédente avant de passer à la suite. Si vous ne retrouvez pas $2F$, il est impératif de relire votre factorisation pour débusquer l'erreur.

Analyse Méthodique : Question 3 - Résolution de l'Équation-Produit

La question nous demande de trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $E = 0$. Il est crucial de ne pas utiliser la forme initiale de $E$ ni sa forme développée pour résoudre cette équation, car cela mènerait à une équation du second degré ($2x^2 - 4x = 0$) que les élèves de 3ème ne savent résoudre que par factorisation. En utilisant la forme factorisée trouvée à la question précédente, $2x(x - 2) = 0$, nous faisons face à une « équation-produit nul ». La propriété fondamentale à citer est la suivante : "Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul". Cela nous donne deux équations simples à résoudre : soit $2x = 0$, soit $x - 2 = 0$. La première nous donne $x = 0 / 2 = 0$. La seconde nous donne $x = 2$. Les solutions de l'équation sont donc 0 et 2. Cette méthode est systématique et garantit l'exactitude du résultat sans calcul complexe.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le premier piège, et sans doute le plus fréquent, concerne la gestion des signes négatifs lors du développement. Le terme $-3(x - 2)$ est souvent transformé par erreur en $-3x - 6$. N'oubliez jamais que "moins par moins donne plus". Un autre piège est de vouloir résoudre l'équation de la question 3 en repartant de l'expression non factorisée, ce qui conduit souvent à des calculs inextricables pour un niveau collège. Enfin, lors de la factorisation, certains élèves oublient que le facteur commun $(x-2)$ doit être "extrait" proprement. Si vous avez du mal à le voir, soulignez-le ou entourez-le au brouillon. Pour la vérification $E = 2F$, ne vous contentez pas d'écrire "on trouve bien 2F", montrez explicitement l'égalité pour prouver votre raisonnement au correcteur.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir la totalité des points, la clarté est votre meilleure alliée. Pour le développement, alignez vos signes "=" et détaillez au moins une étape de calcul intermédiaire avant de donner le résultat réduit. Pour la factorisation, indiquez clairement quel est le facteur commun utilisé. Lors de la résolution de l'équation, mentionnez explicitement la propriété de l'équation-produit nul ; c'est un point de barème quasi systématique dans les grilles de correction du Brevet. Enfin, concluez toujours par une phrase claire comme : "Les solutions de l'équation sont 0 et 2." Une copie propre, aérée et justifiée incite le correcteur à être bienveillant et facilite la relecture pour éviter les étourderies de dernière minute.