Introduction aux enjeux du Brevet 2017 : Metropole Ex 5

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2017 (session Métropole) est un modèle de polyvalence pédagogique. Il mobilise trois piliers fondamentaux du programme de troisième : la gestion des grandeurs et mesures (vitesse), la maîtrise technique du calcul littéral (développement et factorisation via les identités remarquables) et l'application d'un modèle fonctionnel à un problème concret (distance de freinage). Cet exercice est conçu pour évaluer la capacité de l'élève à passer d'un cadre numérique à un cadre algébrique avec aisance, une compétence cruciale pour le passage en classe de seconde.

Analyse de la Question 1 : Comparaison de vitesses et conversions

La première partie nous plonge dans le contexte des Jeux Olympiques de Rio 2016. L'énoncé fournit une distance ($50$ mètres) et un temps ($24,07$ secondes). L'objectif est de comparer cette performance à une marche rapide de $6$ km/h. Ce problème semble simple, mais il nécessite une rigueur méthodologique dans la conversion des unités.

Le raisonnement doit se faire en deux étapes : le calcul de la vitesse en mètres par seconde (m/s), puis sa conversion en kilomètres par heure (km/h). Rappelons la formule fondamentale : $V = d / t$. En effectuant le calcul $50 / 24,07$, on obtient environ $2,077$ m/s. Pour comparer cette valeur à $6$ km/h, deux stratégies sont possibles : convertir $6$ km/h en m/s ou, plus couramment, convertir le résultat de la nageuse en km/h. Pour passer des m/s aux km/h, il faut multiplier par $3,6$ (puisqu'il y a $3600$ secondes dans une heure et $1000$ mètres dans un kilomètre). Ainsi, $2,077 \times 3,6 \approx 7,48$ km/h. La conclusion est immédiate : Pernille Blume a nagé plus rapidement qu'une personne marchant à $6$ km/h. Il est important de bien rédiger la phrase de conclusion en utilisant les unités appropriées pour valider la compétence 'Communiquer'.

Analyse de la Question 2 : Maîtrise du Calcul Littéral

Le calcul littéral représente souvent une part substantielle des points lors de l'épreuve. L'expression $E = (3x + 8)^2 - 64$ est une structure classique combinant identités remarquables et simplification algébrique.

Développement de l'expression (a)

Pour développer $(3x + 8)^2$, l'élève doit reconnaître la première identité remarquable : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici, $a = 3x$ et $b = 8$. Une erreur fréquente consiste à oublier que le carré porte sur l'ensemble du terme $3x$, ce qui donne $(3x)^2 = 9x^2$ (et non $3x^2$). Le double produit est $2 \times 3x \times 8 = 48x$. En ajoutant le $64$ (le $8^2$) et en n'oubliant pas de soustraire le $64$ présent dans l'expression initiale, on obtient : $E = 9x^2 + 48x + 64 - 64$, ce qui se simplifie en $E = 9x^2 + 48x$.

Démonstration de la forme factorisée (b)

L'énoncé demande de montrer que $E = 3x(3x + 16)$. Cette question peut être abordée de deux manières : soit en factorisant l'expression initiale via l'identité $a^2 - b^2$ (où $a = 3x + 8$ et $b = 8$), soit en factorisant le résultat obtenu au développement précédent. En partant de $E = 9x^2 + 48x$, on remarque que $3x$ est un facteur commun évident. En factorisant par $3x$, on retrouve immédiatement $3x(3x + 16)$. Cette cohérence entre les résultats est un excellent indicateur pour l'élève en plein examen.

Résolution d'équation produit nul (c)

Résoudre $(3x + 8)^2 - 64 = 0$ revient à résoudre $3x(3x + 16) = 0$. C'est une application directe de la règle du produit nul : 'Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul'. On sépare l'équation en deux : $3x = 0$ (soit $x = 0$) et $3x + 16 = 0$ (soit $3x = -16$, d'où $x = -16/3$). N'oubliez pas de citer la propriété pour obtenir tous les points de rédaction.

Analyse de la Question 3 : Fonctions et Modélisation physique

La dernière partie utilise une formule de physique pour la distance de freinage : $d = k \times V^2$. Ici, la fonction lie la distance à la vitesse au carré. L'élève doit extraire les informations pertinentes du tableau : route mouillée implique $k = 0,14$. On connaît la distance $d = 15$ m.

L'équation à résoudre est $15 = 0,14 \times V^2$. En isolant $V^2$, on obtient $V^2 = 15 / 0,14 \approx 107,14$. Pour trouver la vitesse $V$, on utilise la racine carrée : $V = \sqrt{107,14} \approx 10,35$ m/s. Ce résultat illustre parfaitement comment les mathématiques servent d'outil aux autres disciplines comme la physique ou la sécurité routière. L'élève doit être capable de manipuler une formule avec une puissance carrée, ce qui est une notion clé des fonctions de type carré étudiées en 3ème.

Les Pièges classiques et conseils pour le jour J

Le premier piège est l'unité. Dans la question 1, comparer des km/h et des m/s sans conversion est une erreur fréquente. Dans la question 2, attention au développement de $(3x)^2$ : le coefficient 3 doit aussi être élevé au carré. Enfin, dans la question 3, ne confondez pas le coefficient $k$ de la route sèche et de la route mouillée. Un bon conseil est de souligner les données importantes dans l'énoncé dès la première lecture. Pour la rédaction, soyez explicite : 'J'utilise l'identité remarquable...', 'Je résous l'équation produit nul...'. Une copie claire et structurée facilite le travail du correcteur et valorise votre raisonnement.