Introduction aux notions de Géométrie Plane

L'exercice 7 du sujet de Pondichéry 2018 est un classique incontournable du Brevet des collèges. Il évalue la capacité de l'élève à naviguer entre différentes représentations et propriétés géométriques. Cet exercice s'articule autour de trois axes majeurs : la construction rigoureuse d'une figure, l'usage de la trigonométrie pour le calcul de longueurs, et l'identification de triangles semblables pour déterminer un coefficient de réduction. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, nous travaillons avec un angle de $30^\circ$ et une longueur connue de 7 cm, ce qui constitue une base parfaite pour appliquer les formules de sinus, cosinus ou tangente.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Construction de la figure en vraie grandeur

La première étape est souvent négligée, pourtant elle rapporte des points précieux. Pour tracer le triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 7$ cm et $\widehat{ABC} = 30^\circ$, il faut procéder par étapes. Commencez par le segment $[AB]$ horizontal de 7 cm. Utilisez votre rapporteur pour marquer un angle de $30^\circ$ à partir du point $B$. Ensuite, tracez la perpendiculaire à $[AB]$ passant par $A$. L'intersection de cette perpendiculaire et de la demi-droite issue de $B$ donne le point $C$. Pour le point $H$, le pied de la hauteur issue de $A$, utilisez votre équerre pour tracer la perpendiculaire au segment $[BC]$ passant par le point $A$. N'effacez jamais vos traits de construction (arcs de cercle ou lignes de rappel), car le correcteur les utilise pour valider votre méthode.

2. Démonstration de la longueur AH

La question 2 nous demande de prouver que $AH = 3,5$ cm. Pour cela, nous devons identifier un triangle rectangle contenant $AH$. Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ car $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ sur $[BC]$. Dans ce triangle $ABH$ : nous connaissons l'hypoténuse $AB = 7$ cm et l'angle $\widehat{ABH} = 30^\circ$. Le côté $AH$ est le côté opposé à l'angle connu. La formule trigonométrique adéquate est donc le sinus : $\sin(\widehat{ABH}) = \frac{AH}{AB}$. En remplaçant par les valeurs : $\sin(30^\circ) = \frac{AH}{7}$. Comme $\sin(30^\circ) = 0,5$, on obtient $AH = 7 \times 0,5 = 3,5$ cm. Le résultat est cohérent avec l'énoncé.

3. Triangles semblables : ABC et HAC

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux. Analysons les angles des triangles $ABC$ et $HAC$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ($90^\circ$) et $\widehat{ABC} = 30^\circ$. Par la règle de la somme des angles d'un triangle ($180^\circ$), l'angle $\widehat{ACB} = 180 - (90 + 30) = 60^\circ$. Considérons maintenant le triangle $HAC$. Il est rectangle en $H$ ($90^\circ$). Il partage l'angle $\widehat{C}$ avec le triangle $ABC$, donc $\widehat{HCA} = 60^\circ$. Enfin, l'angle $\widehat{HAC} = 180 - (90 + 60) = 30^\circ$. Les deux triangles possèdent les mêmes angles ($90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$), ils sont donc semblables. Cette propriété est fondamentale car elle implique que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

4. Coefficient de réduction de ABC vers HAC

Pour passer du triangle $ABC$ au triangle $HAC$, nous effectuons une réduction car $HAC$ est 'plus petit' que $ABC$. Le coefficient de réduction $k$ est le rapport entre un côté du triangle $HAC$ et le côté correspondant du triangle $ABC$. Comparons les hypoténuses : l'hypoténuse de $HAC$ est $AC$ et l'hypoténuse de $ABC$ est $BC$. Le rapport est donc $k = \frac{AC}{BC}$. En utilisant la trigonométrie dans $ABC$, on sait que $\sin(30^\circ) = \frac{AC}{BC}$. Par conséquent, $k = \sin(30^\circ) = 0,5$. Le triangle $HAC$ est une réduction de rapport 0,5 du triangle $ABC$.

Les Pièges à Éviter

Attention à la configuration de votre calculatrice : assurez-vous qu'elle est en mode 'Degrés' et non 'Radians' ou 'Grades' avant de calculer un sinus. Une confusion classique lors de la question 3 consiste à affirmer que les triangles sont semblables juste parce qu'ils sont rectangles ; il faut impérativement prouver l'égalité d'un deuxième angle. Enfin, ne confondez pas le pied de la hauteur $H$ avec le milieu du segment $[BC]$, ce qui n'est vrai que pour un triangle isocèle en $A$.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, structurez vos réponses. Commencez par nommer le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle : 'Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$...'. Citez la formule de trigonométrie en lettres avant de passer aux chiffres. Pour la question sur les triangles semblables, listez clairement les égalités d'angles en justifiant chaque calcul (somme des angles égale $180^\circ$). Une rédaction propre et aérée facilite le travail du correcteur et limite le risque d'erreurs d'étourderie.