Introduction aux notions de proportionnalité et de gestion des durées
L'exercice 8 du sujet de Brevet 2018 pour la zone Amérique du Nord est un cas d'école particulièrement pertinent pour les élèves de 3ème. Il mobilise deux compétences fondamentales du cycle 4 : la maîtrise de la proportionnalité et la gestion des durées (grandeurs composées). Dans un monde numérique, comprendre comment calculer un temps de téléchargement à partir d'une vitesse constante est non seulement un attendu scolaire, mais aussi une compétence de la vie quotidienne. Ce type d'exercice teste votre capacité à extraire des informations d'un document graphique (ici, une barre de progression) et à mener un raisonnement logique en plusieurs étapes.
Analyse méthodique du problème de téléchargement
Pour résoudre ce problème, il est impératif de ne pas se précipiter sur les chiffres. Une lecture analytique de la fenêtre de téléchargement nous donne trois informations capitales :
- La quantité déjà téléchargée : $9,7$ Mo.
- La taille totale du fichier : $115,2$ Mo.
- La vitesse de transfert : $1,3$ Mo/s.
La question posée est une question fermée demandant une comparaison : le téléchargement prendra-t-il plus ou moins de 1 minute et 25 secondes ? Pour y répondre, le raisonnement doit se diviser en trois phases distinctes.
Étape 1 : Calcul de la quantité de données restant à télécharger
Avant de s'occuper de la vitesse, il faut définir le travail qu'il reste à accomplir. Beaucoup d'élèves font l'erreur d'utiliser la taille totale du fichier ($115,2$ Mo) dans leur calcul de durée. Or, une partie est déjà sur l'ordinateur. L'opération à effectuer est une soustraction simple mais cruciale :
$$Reste = Total - Déjà téléchargé$$
$$Reste = 115,2 - 9,7 = 105,5 \text{ Mo}$$
Étape 2 : Détermination de la durée nécessaire
Nous sommes ici dans une situation de proportionnalité. Si $1,3$ Mo sont téléchargés en $1$ seconde, combien de temps faut-il pour $105,5$ Mo ? Vous pouvez utiliser un tableau de proportionnalité ou la formule de la vitesse : $v = \frac{d}{t}$ où $d$ représente ici la quantité de données et $t$ le temps. En isolant $t$, on obtient :
$$t = \frac{d}{v} = \frac{105,5}{1,3}$$
À l'aide de la calculatrice, on trouve $t \approx 81,15$ secondes (valeur arrondie au centième).
Étape 3 : Conversion et comparaison
La dernière étape consiste à comparer ce résultat avec le seuil critique de l'énoncé : 1 minute et 25 secondes. Pour comparer deux durées, elles doivent être dans la même unité. Convertissons 1 min 25 s en secondes :
$$1 \text{ min } 25 \text{ s} = 1 \times 60 + 25 = 85 \text{ secondes}$$
En comparant les deux valeurs : $81,15 < 85$. Le téléchargement se terminera donc en moins de 1 minute et 25 secondes. La réponse à la question est donc : Non, il ne faudra pas plus de 1 minute et 25 secondes.
Les pièges classiques à éviter
En tant qu'enseignant, j'observe souvent les mêmes erreurs sur ce type d'exercice. Premièrement, l'oubli de la soustraction initiale. L'élève calcule le temps pour le fichier complet, ce qui est hors-sujet. Deuxièmement, la confusion dans les conversions de temps. Rappelez-vous que le temps n'est pas en base 10. $81,15$ secondes ne signifie pas 1 minute et 15 secondes ! Pour convertir $81,15$ s en minutes/secondes, on fait la division euclidienne par $60$ : $81 = 1 \times 60 + 21$, soit environ $1$ min $21$ s. Enfin, attention aux unités : si la vitesse était en Mo/min, le calcul serait différent. Vérifiez toujours la cohérence des unités entre la vitesse et la quantité de données.
Conseils de rédaction pour l'épreuve du Brevet
Pour obtenir le maximum de points, votre copie doit refléter votre logique. Ne jetez pas les calculs au brouillon sans explication. Utilisez des phrases d'introduction : "Calculons d'abord la quantité de données restantes...", "Calculons ensuite la durée nécessaire avec une vitesse de 1,3 Mo/s...". Explicitez clairement votre comparaison finale. Une réponse de type "Oui" ou "Non" sans justification ne rapporte généralement aucun point, même si elle est correcte. La rigueur mathématique réside dans la preuve, pas seulement dans le résultat.
Approfondissement : La notion de débit
Ce problème introduit la notion de débit binaire, qui est une vitesse de transfert de données. En mathématiques de 3ème, le débit est traité comme une vitesse classique. Le coefficient de proportionnalité est ici le débit ($1,3$). Si vous doublez le temps, vous doublez la quantité de données. Cette linéarité est la clé de la réussite de cet exercice. N'hésitez pas à schématiser la situation si cela vous aide à visualiser la progression du téléchargement par rapport au temps qui s'écoule.