Introduction aux Probabilités au Brevet

L'exercice 3 du sujet du Brevet de Mathématiques 2018 (Métropole) porte sur le thème incontournable des probabilités. En classe de troisième, la probabilité d'un événement est abordée comme la mesure des chances que cet événement se produise. C'est une notion fondamentale qui se retrouve presque systématiquement dans l'épreuve finale. Cet exercice combine le calcul de probabilités simples, l'utilisation de fractions pour retrouver des effectifs, et la comparaison de probabilités exprimées sous différentes formes (fractions et pourcentages). L'objectif est de vérifier que l'élève maîtrise le passage d'un langage (fréquence, pourcentage) à l'autre tout en gardant une rigueur mathématique dans la rédaction.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente Théo qui possède 375 morceaux dans son lecteur audio. La première étape consiste à bien identifier l'univers de l'expérience aléatoire : ici, l'univers est l'ensemble des 375 morceaux de musique. Le tirage est dit « au hasard », ce qui implique une situation d'équiprobabilité pour chaque morceau.

Question 1 : Calcul de la probabilité du Rap

Pour répondre à la question 1, nous appliquons la formule fondamentale : $P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$. On sait qu'il y a 125 morceaux de rap sur un total de 375. La probabilité qu'il écoute du rap est donc : $\frac{125}{375}$. Il est crucial ici de simplifier la fraction pour montrer votre aisance au correcteur. En divisant le numérateur et le dénominateur par 125, on obtient $\frac{1}{3}$. Cela signifie que Théo a une chance sur trois d'écouter du rap.

Question 2 : Retrouver un effectif à partir d'une probabilité

La question 2 est une application inverse du cours. On nous donne la probabilité que Théo écoute du rock, soit $\frac{7}{15}$, et on nous demande le nombre de morceaux de rock. Posons $x$ le nombre de morceaux de rock. On sait que $\frac{x}{375} = \frac{7}{15}$. Pour trouver $x$, on utilise la règle de trois ou le produit en croix : $x = \frac{7 \times 375}{15}$. En calculant $375 / 15 = 25$, on arrive à $x = 7 \times 25 = 175$. Théo possède donc 175 morceaux de rock. Cette étape nécessite de ne pas faire d'erreur de calcul mental ou de bien utiliser sa calculatrice.

Question 3 : Comparaison de probabilités et pourcentages

Dans cette partie, nous comparons les chances de Théo et d'Alice. Alice possède 40% de morceaux de rock. Pour comparer deux probabilités, il est impératif de les mettre sous la même unité de mesure (soit en pourcentage, soit en décimal, soit en fraction avec le même dénominateur). La probabilité de Théo est de $\frac{7}{15}$. En effectuant la division $7 \div 15$, on obtient environ $0,4666...$, ce qui correspond à environ $46,7\%$. On compare ensuite $46,7\%$ (Théo) à $40\%$ (Alice). Puisque $46,7 > 40$, c'est Théo qui a le plus de chances d'écouter un morceau de rock. Ce type de raisonnement est typique du socle commun : interpréter des données pour prendre une décision.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre le nombre de morceaux (l'effectif) avec la probabilité (le ratio). Une erreur classique serait de dire qu'Alice a moins de chances simplement parce qu'elle a moins de morceaux au total, sans regarder la proportion. Or, la probabilité dépend de la proportion et non du volume total seul. Un autre piège réside dans la lecture de l'énoncé : assurez-vous de bien distinguer les différents genres musicaux mentionnés pour ne pas mélanger les données chiffrées. Enfin, n'oubliez pas que 40% est équivalent à $\frac{40}{100}$ ou $0,4$.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, soignez votre présentation. Commencez chaque réponse par citer la formule utilisée ou par expliquer votre démarche en une phrase. Par exemple : « Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité est définie par le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles ». Présentez vos calculs de manière aérée et encadrez vos résultats finaux. Une copie propre et structurée met toujours le correcteur dans de bonnes dispositions, surtout pour un sujet de probabilités où la logique prime sur la complexité technique.