Introduction aux Notions : Vitesses et Fonctions au Brevet
L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet de la Métropole 2018 est un cas d'étude exemplaire qui croise deux piliers du programme de troisième : les grandeurs composées (vitesses et allures) et l'analyse de fonctions. Dans cet énoncé, l'élève est confronté à une situation concrète de course à pied impliquant Bob, un coureur dont les données d'entraînement servent de support à une modélisation mathématique. L'objectif est de passer d'une situation réelle à une interprétation algébrique puis graphique.
Analyse Méthodique de l'Exercice
La première partie de l'exercice demande de calculer une vitesse moyenne. Il est crucial de se rappeler la formule fondamentale : $v = \frac{d}{t}$. Ici, la distance $d$ est de 10,5 km et la durée $t$ est de 1 h 03 min. Le piège classique est d'utiliser 1,03 comme durée en heures. En réalité, 3 minutes représentent $\frac{3}{60}$ d'heure, soit 0,05 heure. La durée totale est donc de 1,05 h. Le calcul devient alors : $v = \frac{10,5}{1,05} = 10$ km/h. Cette question évalue la capacité de l'élève à convertir des unités de temps sexagésimales en unités décimales avant d'appliquer une formule de proportionnalité.
Modélisation par une Fonction Inverse
La deuxième question introduit la fonction $f(x) = \dfrac{60}{x}$. Cette fonction permet de convertir l'allure (en min/km) en vitesse (en km/h).
Question 2.a : La nature de la fonction. Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$. Or, ici, la variable $x$ est au dénominateur. Il s'agit d'une fonction de type 'inverse', ou plus précisément une situation de proportionnalité inverse. La réponse attendue doit être claire : la fonction n'est pas linéaire car elle ne peut pas s'écrire sous la forme $ax$.
Question 2.b : Calcul d'image. On cherche l'image de 5 par $f$. On calcule $f(5) = \frac{60}{5} = 12$. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'une allure de 5 min/km correspond exactement à une vitesse de 12 km/h. Cette étape permet de vérifier que l'élève comprend le lien entre la variable d'entrée et le résultat produit par le modèle mathématique.
Exploitation de la Représentation Graphique
La troisième partie bascule vers l'analyse visuelle. La lecture graphique est une compétence transversale majeure au Diplôme National du Brevet.
3.a. Recherche d'antécédent : On demande l'antécédent de 10. Sur l'axe des ordonnées ($y$, la vitesse), on repère la valeur 10. On se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe bleue, puis on redescend verticalement vers l'axe des abscisses ($x$, l'allure). On lit $x = 6$. Cela confirme le lien entre la question 1 et la fonction : 10 km/h correspond bien à l'allure de 6 min/km donnée dans l'exemple de l'énoncé.
3.b. Lecture de valeur approchée : Pour un piéton à 14 min/km, on cherche l'image de 14. Sur l'axe des $x$, on se place à 14, on monte à la courbe et on lit sur l'axe des $y$ une valeur légèrement supérieure à 4. Par le calcul, $60/14 \approx 4,3$. Graphiquement, une réponse autour de 4,3 km/h est attendue.
Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction
Pour maximiser ses points lors de l'épreuve de mathématiques, voici les points de vigilance :
1. Les Conversions : Ne jamais diviser des kilomètres par des minutes si le résultat attendu est en km/h. Convertissez toujours les minutes en fractions d'heures ($min/60$).
2. La Justification : Quand on demande si une fonction est linéaire, ne vous contentez pas d'un 'non'. Citez la forme générale $f(x)=ax$ pour prouver votre connaissance du cours.
3. Précision Graphique : L'utilisation de pointillés sur le graphique pour montrer comment vous avez trouvé l'antécédent ou l'image est fortement recommandée par les correcteurs. Cela prouve votre méthode même si la lecture est légèrement imprécise.
4. Unités : N'oubliez jamais de préciser 'km/h' ou 'min/km' dans vos phrases de conclusion. Une valeur numérique seule n'a pas de sens physique.
Pourquoi cet exercice est-il important ?
Cet exercice prépare les élèves à la complexité des grandeurs liées. Comprendre que la vitesse et le temps sont inversement proportionnels (si on double l'allure, on divise la vitesse par deux) est un concept fondamental non seulement en mathématiques mais aussi en physique-chimie. En maîtrisant ce sujet de 2018, vous vous assurez une base solide pour toutes les questions de modélisation du Brevet 2024.