Introduction à l'Arithmétique du Brevet

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui revient quasi systématiquement lors de l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB). Dans cet exercice issu de la session 2018 pour la zone Métropole, nous abordons les notions de décomposition en facteurs premiers et de recherche de diviseurs spécifiques. Comprendre la structure d'un nombre entier à travers ses constituants élémentaires — les nombres premiers — est une compétence clé évaluée en classe de troisième.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice se décompose en trois parties progressives, allant de la lecture d'une décomposition existante à la résolution d'un problème logique ouvert.

Question 1 : Identifier les diviseurs premiers de $588$

L'énoncé fournit directement la forme décomposée : $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$. Pour répondre à la question, il faut bien saisir la définition d'un diviseur premier. Un diviseur premier est un nombre qui appartient à la liste des nombres premiers ($2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$) et qui divise exactement le nombre cible. Dans une décomposition en facteurs premiers, les diviseurs premiers sont simplement les bases des puissances. Ici, nous identifions immédiatement les nombres $2$, $3$ et $7$. Il est inutile de citer les exposants ou les produits de ces nombres (comme $2^2=4$ ou $3 \times 7=21$) car $4$ et $21$ ne sont pas des nombres premiers.

Question 2 : Décomposition de $\np{27000000}$

Cette question demande d'appliquer la méthode de décomposition sur un grand nombre. La méthode la plus rapide consiste à décomposer le nombre en un produit simple avant d'affiner :
$\np{27000000} = 27 \times \np{1000000}$
$\np{27000000} = 3^3 \times 10^6$
Ensuite, nous savons que $10 = 2 \times 5$. On applique alors les propriétés des puissances :
$10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6$.
La décomposition finale est donc : $2^6 \times 3^3 \times 5^6$.
Pour la question 2.b, les diviseurs premiers sont les bases de cette décomposition, à savoir : $2$, $3$ et $5$.

Question 3 : Raisonnement sur le plus petit entier impair

C'est la question qui demande le plus de réflexion. Analysons les contraintes :
1. Le nombre doit être positif et entier.
2. Le nombre doit être impair : cela signifie qu'il ne peut pas être divisible par $2$. Par conséquent, le nombre $2$ ne peut pas figurer dans sa décomposition en facteurs premiers.
3. Il doit admettre trois diviseurs premiers différents.
Pour trouver le plus petit nombre possible, nous devons choisir les trois plus petits nombres premiers disponibles, en excluant le $2$. Les trois plus petits nombres premiers après $2$ sont $3$, $5$ et $7$.
En multipliant ces trois nombres, nous obtenons : $3 \times 5 \times 7 = 105$.
Pourquoi est-ce le plus petit ? Si nous utilisions des puissances supérieures (par exemple $3^2 \times 5 \times 7$) ou un nombre premier plus grand (comme $11$ à la place de $7$), le résultat serait forcément supérieur à $105$.

Les Pièges à Éviter

De nombreux élèves commettent l'erreur de confondre 'diviseur' et 'diviseur premier'. Par exemple, pour le nombre $588$, $4$ est un diviseur, mais ce n'est pas un diviseur premier car $4 = 2 \times 2$.
Un autre piège classique dans la question 3 est d'inclure le chiffre $1$. Attention : 1 n'est pas un nombre premier. La liste des nombres premiers commence impérativement à $2$.
Enfin, pour les grands nombres comme $\np{27000000}$, ne tentez pas la division successive par $2$ manuellement si vous pouvez utiliser les puissances de $10$, cela réduit considérablement le risque d'erreur de calcul.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement la définition : 'Les diviseurs premiers sont les nombres qui apparaissent dans la décomposition en facteurs premiers.'
2. Pour la question 3, rédigez votre raisonnement par élimination : 'Puisque le nombre est impair, il n'est pas divisible par 2. Les plus petits nombres premiers restants sont 3, 5 et 7. Leur produit minimal est donc...'
3. Vérifiez toujours vos multiplications finales à la calculatrice pour valider vos décompositions.