Introduction aux notions du sujet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet de Polynésie 2018 est un exercice dit de « tâche complexe ». Il s'articule autour de deux thématiques majeures du programme de 3ème : le calcul d'aires et de volumes, et la proportionnalité appliquée à des situations concrètes. Cet exercice est particulièrement formateur car il demande à l'élève d'extraire des informations de plusieurs documents (croquis, fiches techniques, tarifs) pour résoudre un problème de budget réel. Nous allons mobiliser la trigonométrie, la géométrie spatiale et l'interprétation de données tabulaires.

Analyse Méthodique de la Partie 1 : Toiture et Budget

La première partie concerne le calcul du coût des tuiles pour un toit à deux versants. Pour réussir, il faut décomposer le problème :

1. Calcul de la longueur de la pente (AD)

Le croquis nous montre un triangle $FAD$ isocèle en $A$. La hauteur $(AE)$ issue de $A$ partage ce triangle en deux triangles rectangles identiques. Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$, nous connaissons :

• L'angle $\widehat{EAD} = 38^{\circ}$ (la moitié de $76^{\circ}$).
• Le côté $ED = 2,53$ m (la moitié de $FD = 5,06$ m).

Nous cherchons l'hypoténuse $AD$. Nous utilisons donc le sinus : $\sin(\widehat{EAD}) = \frac{ED}{AD}$, soit $\sin(38^{\circ}) = \frac{2,53}{AD}$. En isolant $AD$, on obtient $AD = \frac{2,53}{\sin(38^{\circ})} \approx 4,11$ m.

2. Calcul de la hauteur AE

On peut utiliser la tangente ou le théorème de Pythagore. Avec la tangente : $\tan(38^{\circ}) = \frac{ED}{AE} = \frac{2,53}{AE}$. Ainsi, $AE = \frac{2,53}{\tan(38^{\circ})} \approx 3,24$ m.

3. Calcul de l'aire et du prix

Le toit possède deux versants rectangulaires de dimensions $AD$ et $AB$. L'aire totale est $2 \times (AD \times AB) = 2 \times (4,11 \times 13) \approx 106,86$ m². Le document 2 indique $26$ tuiles par m². Nombre de tuiles $= 106,86 \times 26 \approx 2779$ tuiles. À $0,65$ € l'unité, le budget est d'environ $1806,35$ €.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Climatisation et Volume

La deuxième partie demande de choisir un climatiseur. La difficulté ici réside dans le calcul du volume du réfectoire (le rez-de-chaussée).

1. Calcul du volume du réfectoire

Le réfectoire est un pavé droit (parallélépipède rectangle). Son volume se calcule par la formule $V = L \times l \times h$. Ici, $L = 13$ m, $l = 5,06$ m et $h = 2,70$ m (la hauteur $FI$ ou $DK$). $V = 13 \times 5,06 \times 2,70 = 177,606$ m³.

2. Interprétation du Document 3

Le tableau de correspondance nous donne des paliers. Pour un volume de $177,6$ m³, il faut se référer à la valeur supérieure pour garantir un refroidissement efficace. Le volume de $150$ m³ demande $18000$ BTU et $250$ m³ demande $25000$ BTU. Une interpolation ou une lecture prudente indique qu'il faut une puissance supérieure à $18000$ BTU. Par sécurité, on cherche un appareil capable de couvrir environ $20000$ à $25000$ BTU.

3. Sélection du modèle optimal

On cherche le climatiseur le moins cher qui fournit au moins la puissance nécessaire. Le modèle Freez 8000 offre $22000$ BTU pour $1050$ €. Le modèle Air 10 pingouin offre $27000$ BTU pour seulement $990$ €. C'est ce dernier qui est le plus avantageux : il est plus puissant que le Freez 8000 tout en étant moins cher.

Les Pièges à éviter

1. L'oubli du double versant : Beaucoup d'élèves calculent l'aire d'un seul côté du toit. N'oubliez pas que Mario doit couvrir les deux pentes ! 2. Les arrondis prématurés : Conservez les valeurs exactes ou avec 3 décimales dans votre calculatrice jusqu'au résultat final pour éviter les erreurs d'arrondi sur le prix total. 3. Confusion Aire/Volume : Ne confondez pas le calcul de la toiture (surface en m²) et le calcul de la climatisation (espace en m³). 4. L'unité BTU : Ne vous laissez pas impressionner par cette unité. Il suffit de suivre les tableaux de correspondance comme une simple fonction de proportionnalité par paliers.

Conseils de Rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre copie comme suit : 1. Citez le théorème ou la formule trigonométrique utilisée (ex: "Dans le triangle AED rectangle en E..."). 2. Présentez clairement vos calculs d'aires avant de passer au coût. 3. Pour la partie climatisation, rédigez une phrase expliquant pourquoi vous avez choisi tel volume dans le tableau (justification du choix sécuritaire). 4. Concluez par une phrase de réponse claire : "Le budget total pour les tuiles est de..." et "Le climatiseur choisi est le modèle... car...".