Introduction aux notions clés de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2018 (Amérique du Nord), est une étude de cas concrète : la construction d'une terrasse en béton. Il mobilise trois piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : la trigonométrie dans le triangle rectangle, le calcul de volumes de prismes droits, et la prise d'initiatives face à un problème complexe de tarification. L'objectif est de vérifier si une condition d'inclinaison est respectée pour l'écoulement des eaux, puis de calculer le coût total d'un chantier en intégrant des contraintes logistiques. Ce type d'exercice est fréquent au Brevet car il évalue la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma complexe en 3D et d'un tableau d'informations commerciales.

Analyse de la Question 1 : Vérification de l'inclinaison (Trigonométrie)

La première question demande de vérifier si l'angle $\widehat{ABP}$ est compris entre 1° et 1,5°. Pour répondre, il faut d'abord isoler le triangle rectangle pertinent. Le texte précise que $P$ est un point du segment $[AD]$ tel que $BCDP$ est un rectangle. Par conséquent, les côtés opposés sont égaux : $PD = BC = 0,15$ m et $BP = CD = 5$ m. Le triangle $ABP$ est rectangle en $P$.

Le raisonnement doit se porter sur la recherche de la longueur $AP$. Puisque $P$ appartient à $[AD]$, nous avons $AP = AD - PD$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies par le schéma, $AP = 0,27 - 0,15 = 0,12$ m. Nous connaissons maintenant le côté opposé à l'angle $\widehat{ABP}$ ($AP = 0,12$ m) et le côté adjacent ($BP = 5$ m). La formule de la tangente est ici l'outil idéal : $\tan(\widehat{ABP}) = \frac{AP}{BP}$. En injectant les valeurs : $\tan(\widehat{ABP}) = \frac{0,12}{5} = 0,024$. À l'aide de la calculatrice (touche $arctan$ ou $tan^{-1}$), on trouve $\widehat{ABP} \approx 1,37°$. Conclusion : la condition est bien vérifiée car $1 < 1,37 < 1,5$.

Analyse de la Question 2 : Volume du prisme et facturation complexe

Cette partie est une tâche complexe nécessitant plusieurs étapes de calcul. L'énoncé définit la terrasse comme un prisme droit dont la base est le quadrilatère $ABCD$ et la hauteur est le segment $[CG]$. Attention, dans ce prisme 'couché', la 'hauteur' géométrique pour la formule du volume est la longueur de la terrasse, soit $CG = 8$ m. La 'base' du prisme est le trapèze rectangle $ABCD$.

Étape 1 : Calcul de l'aire de la base. L'aire d'un trapèze se calcule par la formule : $\frac{(Petite Base + Grande Base) \times hauteur}{2}$. Ici, l'aire de $ABCD = \frac{(BC + AD) \times CD}{2} = \frac{(0,15 + 0,27) \times 5}{2} = \frac{0,42 \times 5}{2} = 1,05$ m².
Étape 2 : Calcul du volume. $Volume = Aire_{base} \times hauteur_{prisme} = 1,05 \times 8 = 8,4$ m³.
Étape 3 : Logistique et livraison. Le volume total est de $8,4$ m³. Or, la capacité maximale d'un camion-toupie est de $6$ m³. Il faudra donc effectuer deux voyages. C'est ici que la prise d'initiative est cruciale : oublier le deuxième voyage fausse tout le calcul des frais de livraison.
Étape 4 : Calcul des coûts. Le coût du béton est de $8,4 \times 95 = 798$ €. Pour la livraison, la distance aller-retour pour un voyage est de $23 \times 2 = 46$ km. Pour deux voyages, la distance totale parcourue est de $46 \times 2 = 92$ km. Les frais s'élèvent donc à $92 \times 5 = 460$ €.
Étape 5 : Total de la facture. Le montant final est de $798 + 460 = 1258$ €.

Les pièges classiques à éviter

Le premier piège réside dans les unités. Assurez-vous que toutes les dimensions sont en mètres avant de calculer le volume pour obtenir des m³. Ici, tout était déjà en mètres, mais la vigilance reste de mise. Le deuxième piège, très fréquent dans les exercices de 'Prise d'initiatives', est l'omission du trajet retour ou du nombre de camions nécessaires. L'entreprise facture 'les distances aller et retour', et un seul camion de $6$ m³ ne peut pas transporter $8,4$ m³ en une seule fois. Enfin, ne confondez pas les rapports trigonométriques : le sinus et le cosinus font intervenir l'hypoténuse $AB$, que nous ne connaissons pas initialement.

Conseils de rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points, explicitez chaque étape. Commencez par 'Je calcule la longueur AP' avant de poser l'opération. Citez précisément les formules utilisées : 'Dans le triangle ABP rectangle en P, d'après la trigonométrie...'. Pour la question 2, structurez votre réponse en utilisant des titres ou des puces pour séparer le calcul du volume, le nombre de camions et le coût financier. Même si vous faites une erreur de calcul, le correcteur pourra vous attribuer des points de méthode s'il comprend votre raisonnement. N'oubliez jamais de conclure par une phrase répondant explicitement à la question posée (ex: 'Le montant de la facture s'élève à 1258 €').