Introduction aux notions de Statistiques et de Géométrie spatiale
L'exercice 4 du sujet du Brevet des collèges 2018 (Sujet Étrangers) est un exercice complet qui mobilise deux piliers majeurs du programme de troisième : les statistiques descriptives et le calcul de volumes dans l'espace. À travers le contexte concret des marais salants de l'île de Ré, l'élève est amené à traiter des séries de données réelles et à modéliser un objet complexe (une brouette) par des figures géométriques usuelles comme le trapèze et le prisme droit.
Analyse Partie A : Maîtriser les indicateurs statistiques
La première partie repose sur une série statistique de 25 valeurs représentant la masse de tas de gros sel. La première étape cruciale, bien que non demandée explicitement, est de vérifier l'effectif total ($N = 25$).
1. Calcul de l'étendue
L'étendue est l'indicateur de dispersion le plus simple. Elle se calcule par la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. Ici, le maximum est $48~kg$ et le minimum est $30~kg$. On obtient donc : $48 - 30 = 18~kg$. Cet indicateur montre l'écart maximal entre deux récoltes sur ces carreaux.
2. Détermination de la médiane
C'est ici que de nombreux élèves perdent des points. Pour trouver la médiane, il est impératif d'ordonner la série par ordre croissant. Avec un effectif impair ($N=25$), la médiane est la $(\frac{25+1}{2})$-ième valeur, soit la 13ème valeur. Après rangement, la 13ème valeur est $39$.
Interprétation : Cela signifie qu'au moins 50 % des tas ont une masse inférieure ou égale à $39~kg$, et au moins 50 % ont une masse supérieure ou égale à $39~kg$. C'est une valeur de position.
3. Calcul de la moyenne
La moyenne est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total. $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{25}$. En additionnant les 25 masses, on obtient un total de $950~kg$, soit une moyenne de $38~kg$ par carreau.
Analyse Partie B : Géométrie et conversion de volumes
La seconde partie demande de modéliser une brouette. L'énoncé fournit une aide précieuse en rappelant les formules de l'aire du trapèze et du volume du prisme droit.
1. Le volume de la brouette
La brouette est un prisme droit dont la base est un trapèze. Pour calculer son volume, on procède en deux étapes :
1. Calculer l'aire de la base (le trapèze de profil) : $Area = \frac{(Grande~Base + petite~base) \times hauteur}{2} = \frac{(70 + 40) \times 35}{2} = \frac{110 \times 35}{2} = 1925~cm^2$.
2. Multiplier par la profondeur (largeur de la brouette) : $1925 \times 40 = 77~000~cm^3$.
Conversion : Il faut savoir que $1~dm^3 = 1~L$ et $1~000~cm^3 = 1~dm^3$. Donc $77~000~cm^3 = 77~dm^3 = 77~litres$. Le résultat est ainsi démontré.
2. Masse de la fleur de sel
C'est une question de proportionnalité simple. Si $1~L$ pèse $900~g$ (soit $0,9~kg$), alors $77~L$ pèsent : $77 \times 0,9 = 69,3~kg$.
Les pièges à éviter lors de l'examen
1. Oublier de trier la série : Calculer la médiane sur une série non triée est l'erreur la plus fréquente. Prenez le temps de barrer les chiffres au fur et à mesure sur votre brouillon.
2. Les unités de volume : Le passage des $cm^3$ aux litres est une source d'erreurs classiques. Souvenez-vous du tableau de conversion ou de la relation $1~L = 1~dm^3$.
3. La lecture du schéma : Dans la partie B, ne confondez pas la hauteur du trapèze ($35~cm$) avec la profondeur du prisme ($40~cm$).
Conseils de rédaction pour maximiser vos points
Pour chaque calcul, annoncez la formule utilisée en toutes lettres. Par exemple : "Je calcule l'aire du trapèze de base : $A = \frac{(B+b) \times h}{2}$". Présentez vos résultats avec les unités bien visibles. Pour la médiane, écrivez explicitement la phrase d'interprétation : elle est souvent notée sur 0,5 ou 1 point.