Introduction aux notions fondamentales du Brevet 2018

L'exercice 3 du sujet de Brevet 2018 en Asie se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format, très fréquent lors de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB), évalue la rapidité et la précision de l'élève sur des piliers du programme de troisième. Cet exercice balaye un spectre large : l'écriture scientifique et les puissances, les probabilités élémentaires, le calcul littéral (notamment les identités remarquables) et la gestion des fractions dans des problèmes de partage. Maîtriser ces notions est crucial pour obtenir une mention, car elles constituent la base de tout raisonnement mathématique ultérieur au lycée.

Analyse Méthodique Question par Question

1. L'écriture décimale et les puissances de 10

La première question demande de convertir l'écriture $5,3 \times 10^5$ en écriture décimale. Pour réussir, il faut comprendre l'effet d'une puissance de 10 positive sur le décalage de la virgule. Multiplier par $10^5$ revient à multiplier par 100 000. La virgule de $5,3$ doit donc être déplacée de 5 rangs vers la droite. Après le premier décalage (pour passer derrière le 3), il reste 4 rangs à combler par des zéros. On obtient ainsi $530 000$. La réponse A est donc la bonne. Conseil pédagogique : Toujours vérifier le nombre de zéros ajoutés par rapport au rang de départ de la virgule.

2. Probabilités et Diviseurs

La question porte sur le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité d'obtenir un diviseur de 20. La première étape consiste à lister tous les diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10 et 20. La deuxième étape est d'identifier lesquels de ces diviseurs figurent sur les faces du dé (numérotées de 1 à 6). Ce sont : 1, 2, 4 et 5. Il y a donc 4 issues favorables sur un total de 6 issues possibles. La probabilité est de $\frac{4}{6}$. En simplifiant la fraction par 2, on obtient $\frac{2}{3}$. C'est la réponse A. Une erreur classique serait d'inclure 10 ou 20, ou de mal lister les diviseurs au départ.

3. Calcul Littéral et Identités Remarquables

L'égalité proposée est $(x + 5)^2 = x^2 + 25$. C'est un piège classique sur le développement. En utilisant l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, on sait que $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$. En comparant les deux expressions, on voit que l'égalité n'est vraie que si le terme central $10x$ est nul, c'est-à-dire si $x = 0$. Testons : si $x = 1$, $(1+5)^2 = 36$ alors que $1^2+25 = 26$. L'égalité n'est donc pas vraie pour toute valeur de $x$, ni impossible. Elle est vraie uniquement pour une seule valeur ($x = 0$). La réponse B est la réponse correcte. Ce type de question teste la compréhension profonde de la structure algébrique plutôt que le simple calcul.

4. Opérations sur les Fractions et Proportionnalité

Le dernier point concerne le partage d'un volume de 12 litres dans des bouteilles de $\frac{3}{4}$ L. Mathématiquement, cela revient à effectuer la division : $12 \div \frac{3}{4}$. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. Le calcul devient : $12 \times \frac{4}{3} = \frac{12 \times 4}{3} = \frac{48}{3} = 16$. On peut donc remplir 16 bouteilles (Réponse C). On peut aussi raisonner par étapes : 4 bouteilles de $0,75$ L font 3 litres ($4 \times 0,75 = 3$). Comme $12 = 4 \times 3$, il nous faut $4 \times 4 = 16$ bouteilles.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Dans ce QCM, plusieurs pièges guettent l'élève :
1. Confusion des puissances : Ne pas confondre $10^5$ (un 1 suivi de 5 zéros) avec le nombre de zéros à ajouter *après* le chiffre des unités si celui-ci est suivi d'une virgule.
2. Diviseurs vs Multiples : Dans la question sur les probabilités, veillez à bien lister les diviseurs (ceux qui divisent 20) et non les multiples de 20.
3. Le double produit oublié : C'est l'erreur la plus fréquente en 3ème. $(x+5)^2$ n'est JAMAIS égal à $x^2 + 25$ pour tout $x$.
4. Inversion de fraction : Lors de la division de fractions, on oublie souvent d'inverser la *deuxième* fraction.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Bien qu'aucune justification ne soit demandée pour ce QCM spécifique, il est impératif de réaliser les calculs au brouillon proprement. Sur votre copie, respectez scrupuleusement la consigne : indiquez le numéro de la question et la lettre de la réponse. Si vous avez un doute, testez les réponses proposées. Par exemple, pour la question 4, essayez $9 \times \frac{3}{4} = 6,75$ (trop petit) ou $16 \times \frac{3}{4} = 12$ (parfait). Cette technique de vérification par l'absurde est très efficace en QCM pour sécuriser vos points.