Introduction aux Notions de Fractions et Pourcentages
L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2018 pour la zone Amérique du Sud est un classique indémodable des épreuves de fin de collège. Il mobilise deux compétences fondamentales du cycle 4 : la manipulation des pourcentages et le calcul avec les fractions dans le cadre d'un problème concret. Ces notions ne sont pas simplement des outils mathématiques abstraits ; elles sont le reflet de situations quotidiennes, comme ici, la gestion d'un stock ou une vente lors d'une braderie. Comprendre comment appliquer une réduction ou une proportion à une quantité déjà modifiée est l'un des piliers de la réussite en mathématiques au niveau 3ème.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
Le problème commence avec une valeur initiale claire : Hugo possède une collection de $300$ bandes dessinées (BD). L'énoncé se décompose en deux étapes successives qui nécessitent une attention particulière à la formulation syntaxique.
Étape 1 : Le don de 15% de la collection
La première opération consiste à calculer une diminution exprimée en pourcentage. Hugo donne $15\%$ de ses $300$ BD. Pour analyser cette étape, l'élève doit se rappeler qu'appliquer un pourcentage revient à multiplier la valeur de référence par le ratio $\frac{15}{100}$. Ici, le calcul est : $300 \times 0,15 = 45$. Il a donc donné $45$ BD. Cependant, l'étape cruciale pour la suite du raisonnement est de déterminer ce qu'il reste à Hugo avant d'aller à la braderie. On effectue la soustraction : $300 - 45 = 255$. Hugo possède donc $255$ BD à ce stade. Cette étape illustre la notion de 'valeur résiduelle', indispensable pour ne pas fausser les calculs suivants.
Étape 2 : La vente des trois cinquièmes du reste
C'est ici que réside la principale difficulté de l'exercice. L'énoncé précise qu'il vend « trois cinquièmes de ce qu'il lui reste ». Un élève pressé pourrait commettre l'erreur de calculer trois cinquièmes de $300$. Or, le référentiel a changé : on travaille désormais sur les $255$ BD restantes. Mathématiquement, on traduit cela par la multiplication d'un nombre par une fraction : $255 \times \frac{3}{5}$. Pour simplifier ce calcul mentalement ou à la calculatrice, on peut diviser $255$ par $5$ (ce qui donne $51$) puis multiplier par $3$ (ce qui donne $153$). Hugo vend donc $153$ BD à la braderie.
Étape 3 : Calcul de la quantité finale
La question finale demande combien Hugo rapporte de BD chez lui. Après avoir vendu $153$ BD sur les $255$ qu'il lui restait, le calcul final est une simple soustraction : $255 - 153 = 102$. Une autre méthode, plus experte, consiste à se dire que s'il vend $\frac{3}{5}$ du reste, il lui en reste les $\frac{2}{5}$. On aurait alors pu calculer directement $255 \times \frac{2}{5} = 102$.
Les Pièges à Éviter
Le piège classique de cet exercice réside dans la lecture trop rapide du terme 'du reste'. En mathématiques, le mot 'de' (ou 'du', 'des') traduit souvent une multiplication. Lorsqu'on dit '3/5 du reste', on multiplie la fraction par la nouvelle valeur, et non par la valeur initiale. Ne pas prendre en compte la diminution de $15\%$ avant d'appliquer la fraction est l'erreur qui coûte le plus de points dans ce type de sujet. Un autre piège est l'oubli de la soustraction finale : certains élèves s'arrêtent au nombre de BD vendues ($153$) sans répondre à la question posée qui est le nombre de BD rapportées à la maison.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour maximiser ses points lors de l'examen du Brevet, la clarté de la rédaction est essentielle. Il est fortement conseillé de :
1. Nommer chaque étape (ex: 'Étape 1 : Calcul du nombre de BD données').
2. Écrire le calcul en ligne avant de donner le résultat (ex: $300 \times 15 / 100 = 45$).
3. Faire une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée, en mentionnant l'unité (les 'BD'). Un correcteur appréciera toujours une structure logique qui montre que l'élève a compris le processus de déstockage progressif de la collection d'Hugo.