Introduction : Les enjeux de l'exercice 6 du Brevet 2018

Cet exercice, issu du sujet du Diplôme National du Brevet (DNB) 2018 pour les centres étrangers, est une excellente synthèse entre la géométrie classique et la pensée algorithmique. Il plonge l'élève dans un contexte professionnel moderne : le maraîchage robotisé. Deux notions fondamentales du programme de 3ème y sont évaluées : le Théorème de Thalès dans sa configuration triangulaire et la programmation par blocs (Scratch).

Analyse de la Partie A : Géométrie et Théorème de Thalès

La première partie demande de justifier une longueur spécifique dans une parcelle triangulaire. Pour réussir cette question, il est impératif d'identifier la configuration géométrique. Nous sommes en présence de deux triangles imbriqués : le petit triangle $FDE$ et le grand triangle $FBC$.

Les conditions d'application du théorème de Thalès sont réunies : les points $F, D, B$ d'une part, et $F, E, C$ d'autre part, sont alignés. De plus, l'énoncé précise explicitement que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. En appliquant l'égalité des rapports, on obtient : $$\frac{FD}{FB} = \frac{FE}{FC} = \frac{DE}{BC}$$.

Le calcul se décompose ainsi : on sait que $FB = 5$ m et que la distance entre les allées est de $1$ m, ce qui signifie que $BD = 1$ m. Par conséquent, la longueur $FD$ est égale à $FB - BD = 5 - 1 = 4$ m. En remplaçant les valeurs connues dans l'égalité $$\frac{4}{5} = \frac{DE}{80}$$, un simple produit en croix nous donne $DE = \frac{4 \times 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ m. C'est une démonstration typique où la précision de la rédaction est aussi importante que le résultat.

Analyse de la Partie B : Algorithmique et Scratch

La seconde partie de l'exercice porte sur l'automatisation du robot. C'est ici que la logique de programmation intervient. L'objectif est de faire parcourir au robot 49 allées. Pour cela, on utilise des "blocs personnalisés" ou fonctions.

1. Le Motif Montant

Pour le motif $P-Q-R$, le robot doit monter l'allée (80 m), tourner à droite pour se décaler vers l'allée suivante, avancer de la largeur de l'inter-allée (1 m), puis tourner de nouveau pour se préparer à redescendre. La succession de blocs est donc :
- Avancer de $80$
- Tourner à droite de $90$ degrés
- Avancer de $1$
- Tourner à droite de $90$ degrés.

2. Le Motif Descendant

Le motif $R-S-T$ est le miroir du précédent. La structure reste identique, mais le sens des virages change. Au lieu de tourner à droite, le robot doit tourner à gauche. Cette question teste la capacité de l'élève à identifier des symétries dans un algorithme.

3. Variables de boucle x et y

C'est le point le plus technique de l'exercice. Le robot doit parcourir 49 allées. Une répétition complète (Motif montant + Motif descendant) couvre exactement 2 allées. Pour les 48 premières allées (qui forment la zone rectangulaire), il faut donc répéter le cycle $24$ fois. Ainsi, $x = 24$. Après ces 24 cycles, le robot se trouve au point $B$, prêt à parcourir la 49ème allée $[DE]$. Comme nous avons calculé précédemment que $DE = 64$ m, la valeur de la variable $y$ (l'avance finale) est $64$.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :
1. L'oubli des unités : Toujours préciser que les longueurs sont en mètres dans la partie géométrie.
2. L'erreur de décompte : Penser qu'il faut répéter 49 fois le motif alors qu'un motif complet contient deux allées.
3. L'orientation initiale : Scratch commence souvent à $90^{\circ}$ (vers la droite), mais ici l'instruction précise de s'orienter à $0^{\circ}$ (vers le haut), ce qui est crucial pour le premier mouvement.

Conseils de rédaction pour maximiser les points

Pour la partie Thalès, structurez toujours votre réponse en trois temps : les hypothèses (alignement et parallélisme), la citation du théorème utilisé, puis le calcul détaillé. Pour Scratch, dessiner schématiquement le trajet sur votre brouillon permet de ne pas se tromper entre la gauche et la droite. Mentionnez clairement les valeurs de $x$ et $y$ en expliquant brièvement pourquoi vous avez choisi ces nombres (exemple : "48 allées divisées par 2 pour le cycle de répétition").