Introduction aux Probabilités et Statistiques du Brevet

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2018 (Métropole) est une synthèse complète de plusieurs domaines fondamentaux du programme de 3ème : les probabilités, les statistiques, les calculs de pourcentages et l'utilisation d'un tableur. Ce type d'exercice 'transversal' est extrêmement fréquent à l'examen car il permet de tester la capacité de l'élève à passer d'un modèle mathématique à une situation concrète (ici, une course sportive). À travers l'analyse de cette série de données sur 80 participants, nous allons décortiquer les mécanismes de réflexion nécessaires pour obtenir le maximum de points.

Analyse Méthodique de la Partie 1 : Pourcentages et Probabilités

La première partie repose sur une situation de tirage au sort. Il est crucial d'identifier l'univers de l'expérience aléatoire. Ici, l'univers est constitué des $80$ participants.

1. Calcul du pourcentage : La question demande de déterminer la proportion de femmes. La formule standard est : $(\text{effectif partiel} / \text{effectif total}) \times 100$. Avec $32$ femmes sur $80$ participants, le calcul est $32/80 = 0,4$, soit $40\%$. Conseil pédagogique : vérifie toujours que la somme des pourcentages (hommes + femmes) est égale à $100\%$.

2. Probabilités simples et multiples :
- Pour l'évènement $V$ ('Le dossard est vert'), il faut se référer au nombre d'hommes puisque les dossards verts leur sont attribués. On a $48$ hommes sur $80$, soit $P(V) = 48/80 = 0,6$.
- Pour l'évènement $M$ ('Le numéro est un multiple de 10'), l'élève doit lister les numéros possibles. Chez les femmes (1 à 32), les multiples sont 10, 20, 30. Chez les hommes (1 à 48), les multiples sont 10, 20, 30, 40. Au total, il y a $3 + 4 = 7$ participants portant un multiple de 10. La probabilité est donc $P(M) = 7/80$.

3. Probabilité conditionnelle (Niveau 3ème) : La question 2.c est subtile. On nous donne une information préalable : le numéro est un multiple de 10. L'univers se réduit donc aux $7$ personnes identifiées précédemment. Parmi ces $7$ personnes, combien sont des femmes ? Il y en a $3$ (les dossards rouges 10, 20 et 30). La probabilité est donc de $3/7$. C'est ce qu'on appelle une réduction de l'univers des possibles.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Statistiques et Tableur

La seconde partie s'intéresse aux années de naissance des 20 premiers coureurs. C'est un travail classique sur les séries statistiques.

1. Détermination de la médiane : La médiane est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif. L'effectif total est $N=20$. Comme $N$ est pair, la médiane se situe entre la $10^{\text{ème}}$ et la $11^{\text{ème}}$ valeur de la série ordonnée. En observant la liste : la $10^{\text{ème}}$ est $1979$ et la $11^{\text{ème}}$ est $1981$. La médiane est donc $(1979 + 1981) / 2 = 1980$. Cela signifie que la moitié des coureurs est née avant 1980 et l'autre moitié après.

2. Maîtrise du tableur : L'utilisation du tableur est une compétence numérique clé du Brevet. Pour calculer la moyenne des cellules allant de B2 à B21 dans la cellule B23, la formule exacte est =MOYENNE(B2:B21). Attention : n'oublie jamais le signe '=' au début de la formule, sans quoi le tableur ne reconnaît pas le calcul.

3. Moyenne vs Médiane : La question d'Astrid est fondamentale. Bien que dans cet exercice précis, la moyenne et la médiane soient égales ($1980$), ce n'est pas une règle générale. Une série statistique peut être très 'asymétrique'. Par exemple, si un coureur était né en 1920, la moyenne chuterait drastiquement, alors que la médiane resterait quasiment inchangée. La médiane est une mesure de position robuste, tandis que la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Les Pièges à éviter et Conseils de Rédaction

Le premier piège est de confondre le numéro du dossard et le nombre de participants. Prenez le temps de bien lire : 'dossard n°1 rouge' et 'dossard n°1 vert'. Ce sont deux entités distinctes.

Pour la rédaction :
1. Citez toujours vos sources de données (ex: 'D'après le tableau...').
2. Pour les probabilités, utilisez la notation $P(A)$ et donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée ou de nombre décimal.
3. Pour la médiane, précisez toujours que vous avez vérifié que la série était 'rangée dans l'ordre croissant' avant de faire votre choix.
4. Justifiez vos réponses par une phrase courte mais précise : 'Il y a 32 femmes sur un total de 80, donc...'. Un correcteur valorise toujours le raisonnement logique au-delà du simple résultat numérique.

Conclusion sur l'Ex 1 Metropole 2018

En maîtrisant ces quatre piliers (Pourcentages, Probas, Stats, Tableur), vous vous assurez une base solide de points. Cet exercice montre que les mathématiques servent à analyser des performances et des données démographiques réelles. Continuez à vous entraîner sur les annales pour automatiser ces calculs !