Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du Brevet de Mathématiques 2018 pour la zone Métropole, est un sujet incontournable pour les élèves de 3ème. Il traite de trois piliers du programme : les fonctions, la proportionnalité et la résolution d'équations. À travers l'exemple concret d'un hand-spinner, l'élève doit démontrer sa capacité à interpréter un graphique et à modéliser une situation réelle par une fonction affine de type $V(t) = at + b$.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Proportionnalité : Le piège de l'origine

La première question demande si le temps et la vitesse sont proportionnels. Pour qu'il y ait proportionnalité, deux conditions doivent être réunies graphiquement : la représentation doit être une droite ET cette droite doit passer par l'origine $(0,0)$. Ici, bien que nous ayons une droite, elle coupe l'axe des ordonnées à $V = 20$. On en déduit que le rapport $V/t$ n'est pas constant. Par exemple, à $t=0$, $V=20$, ce qui rend la proportionnalité impossible. C'est un point de cours crucial sur les fonctions affines non linéaires.

2. Lecture Graphique : Maîtrise des axes et des unités

La lecture graphique exige une grande précision sur les axes :
- Vitesse initiale : Il s'agit de lire l'ordonnée à l'origine ($t = 0$). Le point sur l'axe vertical indique $20$ tours par seconde.
- Conversion de temps : Une minute et vingt secondes équivalent à $60 + 20 = 80$ secondes. Sur l'axe des abscisses, il faut repérer $80$ et lire l'ordonnée correspondante sur la droite. Le graphique montre qu'à $t = 80$, la vitesse est d'environ $3$ tours par seconde.
- L'arrêt du mouvement : Le hand-spinner s'arrête quand sa vitesse est nulle ($V = 0$). On cherche l'abscisse où la droite coupe l'axe horizontal. La lecture donne environ $94$ secondes.

3. Modélisation par une fonction affine

Dans cette partie, on passe de l'observation à l'algèbre. La fonction $V(t) = -0,214t + 20$ est une fonction affine décroissante. Le coefficient directeur négatif $-0,214$ représente la décélération constante de l'objet.
- Calcul d'image : Pour $t = 30$, on remplace $t$ dans l'expression : $V(30) = -0,214 \times 30 + 20 = -6,42 + 20 = 13,58$ tours/s.
- Résolution d'équation : Pour trouver le temps d'arrêt exact, on résout $V(t) = 0$, soit $-0,214t + 20 = 0$. En isolant $t$, on obtient $t = 20 / 0,214 \approx 93,46$ secondes. Cela confirme la lecture graphique précédente avec une précision mathématique.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente concerne les unités de temps. De nombreux élèves oublient de convertir '1 minute 20 secondes' en secondes avant de lire le graphique ou d'utiliser la formule. Un autre piège réside dans la justification de la proportionnalité : il ne suffit pas de dire 'c'est une droite', il faut impérativement mentionner l'origine du repère. Enfin, lors de la résolution d'équations, attention aux signes lors du passage des termes d'un côté à l'autre de l'égalité.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Pour la lecture graphique, écrivez toujours une phrase du type : 'Par lecture graphique, on observe qu'au point d'abscisse 80, l'ordonnée est 3.'
2. Pour les calculs, détaillez chaque étape de la résolution de l'équation. Ne donnez pas seulement le résultat final.
3. Pour la dernière question sur le doublement de la vitesse, montrez par un contre-exemple ou par la structure de l'équation (existence de l'ordonnée à l'origine) que la relation n'est pas linéaire. Si $V_{\text{initiale}}$ double, le temps $t = V_{\text{initiale}} / 0,214$ double effectivement ici car la vitesse finale est zéro, mais attention à la structure de la fonction affine qui peut induire en erreur sur d'autres types de questions de proportionnalité.