Introduction aux notions de Géométrie dans l'Espace

Cet exercice issu du Brevet de Mathématiques 2018 (Série Générale - Métropole) est un cas d'école pour tester les compétences des élèves sur la géométrie dans l'espace, le calcul de volumes et l'utilisation de la proportionnalité à travers les pourcentages. L'énoncé s'appuie sur un objet concret : le gros globe de cristal, trophée emblématique du ski mondial. Ce type de sujet est particulièrement apprécié par les correcteurs car il mêle des compétences de calcul pur à des capacités de lecture de documents (cartes géographiques et schémas techniques). Les notions de volume de la boule, de volume du cylindre et de repérage terrestre sont au cœur de cette épreuve.

Analyse de la Question 1 : Le repérage sur la sphère terrestre

La première question demande d'identifier la latitude et la longitude de Pyeongchang. Bien que cet exercice soit classé en mathématiques, il fait appel à une compétence de géographie essentielle : le repérage sur une sphère. La Terre est ici modélisée par une mappemonde. Pour réussir cette question, l'élève doit se souvenir que la latitude se mesure par rapport à l'Équateur (Nord ou Sud) et la longitude par rapport au méridien de Greenwich (Est ou Ouest). En observant attentivement la carte fournie dans le sujet de 2017/2018, on remarque que Pyeongchang se situe à environ $37^\circ$ de latitude Nord et $128^\circ$ de longitude Est. La précision attendue reste approximative, mais elle doit être cohérente avec le visuel.

Analyse de la Question 2 : Calcul du volume de la boule de cristal

La deuxième partie de l'exercice est purement calculatoire. On nous demande de vérifier que le volume de la boule est d'environ $6371$ cm$^3$. Pour y parvenir, il est crucial d'identifier les données du schéma. Le trophée mesure au total $46$ cm. Il est composé d'un cylindre de $23$ cm de haut et d'une boule. Par déduction, la hauteur occupée par la boule est également de $46 - 23 = 23$ cm. Cette hauteur correspond au diamètre de la boule. Le rayon $R$ est donc la moitié du diamètre : $R = 23 / 2 = 11,5$ cm. En appliquant la formule fournie dans l'énoncé : $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, on obtient $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 11,5^3$. Le calcul donne environ $6370,6$ cm$^3$, ce qui s'arrondit bien à $6371$ cm$^3$ à l'unité près. La difficulté ici réside dans la non-confusion entre rayon et diamètre, un piège classique.

Analyse de la Question 3 : Calcul de proportionnalité et de pourcentage

Marie affirme que le volume de la boule représente environ $90\%$ du volume total. C'est ici qu'intervient la notion de proportionnalité. Pour vérifier cette affirmation, il faut d'abord calculer le volume du cylindre. La formule est $V_{cylindre} = \pi r^2 h$. Attention : le diamètre du cylindre est de $6$ cm, donc son rayon $r$ est de $3$ cm. Sa hauteur $h$ est de $23$ cm. On a donc $V_{cylindre} = \pi \times 3^2 \times 23 = 207\pi \approx 650,3$ cm$^3$. Le volume total du trophée est la somme des deux volumes : $V_{total} = 6371 + 650,3 = 7021,3$ cm$^3$. Enfin, on calcule le pourcentage représenté par la boule : $(6371 / 7021,3) \times 100 \approx 90,7\%$. Marie a donc raison, car $90,7\%$ est effectivement très proche des $90\%$ annoncés.

Les pièges classiques à éviter au Brevet

Le premier piège est l'oubli des unités : un volume s'exprime en cm$^3$ si les dimensions sont en cm. Le deuxième piège est l'utilisation du diamètre à la place du rayon dans les formules. Pour la boule comme pour le cylindre, la formule utilise $R$ (le rayon). Pensez toujours à diviser le diamètre par deux avant de commencer vos calculs. Enfin, soyez vigilants sur l'utilisation de la touche $\pi$ de votre calculatrice plutôt que la valeur simplifiée $3,14$, afin de garantir une précision optimale pour les arrondis demandés par l'exercice.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir le maximum de points lors de l'épreuve de mathématiques, structurez votre réponse : 1. Citez la formule utilisée (ex: 'On sait que le volume d'une boule est...'). 2. Listez les valeurs numériques avec leurs unités. 3. Présentez le calcul détaillé. 4. Concluez par une phrase claire répondant précisément à la question posée. Par exemple, pour la question de Marie, une conclusion comme 'Le volume de la boule représente environ $91\%$ du volume total, l'affirmation de Marie est donc correcte' est parfaite.