Introduction aux notions de Géométrie Plane

Cet exercice de l'épreuve de mathématiques du Brevet 2018 (Métropole) est un pilier pour tester tes compétences sur la géométrie du plan. Il mobilise quatre notions fondamentales du programme de troisième : le théorème de Pythagore, la réciproque du théorème de Pythagore, la trigonométrie et l'étude des triangles semblables. L'objectif est de démontrer des mesures de longueur, de prouver des similitudes entre figures et de vérifier la perpendicularité de certains segments. Pour réussir, il faut être capable de passer d'un triangle à l'autre en identifiant correctement les points communs et les propriétés géométriques partagées.

Analyse Question 1 : Le Théorème de Pythagore pour BD

La première question demande de calculer la longueur BD dans le triangle BDC. L'énoncé précise que le triangle BDC est rectangle en B. C'est l'information cruciale qui te permet d'appliquer le théorème de Pythagore. Dans ce triangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, soit CD. La relation de Pythagore s'écrit donc : CD² = BD² + BC². À partir de la figure, nous extrayons les valeurs : CD = 8,5 cm et BC = 7,5 cm. En remplaçant par les données numériques, on obtient 8,5² = BD² + 7,5². Soit 72,25 = BD² + 56,25. Pour isoler BD², on effectue la soustraction : BD² = 72,25 - 56,25 = 16. La longueur BD est donc la racine carrée de 16, ce qui nous donne exactement 4 cm. Conseil du prof : Pense toujours à vérifier la cohérence de ton résultat ; l'hypoténuse (8,5) doit être le plus long côté.

Analyse Question 2 : Comprendre les Triangles Semblables

Pour montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables, il existe deux méthodes : comparer les angles ou vérifier la proportionnalité des côtés. Ici, nous disposons des longueurs des trois côtés pour chaque triangle. Les côtés de CBD sont {BD=4 ; BC=7,5 ; CD=8,5}. Les côtés de BFE sont {FE=3,2 ; BF=6 ; BE=6,8}. Pour prouver qu'ils sont semblables, on calcule les rapports des côtés homologues (du plus petit au plus grand) : 3,2 / 4 = 0,8 ; 6 / 7,5 = 0,8 ; 6,8 / 8,5 = 0,8. Puisque tous les rapports sont égaux à 0,8, les longueurs des côtés sont proportionnelles. On en conclut que BFE est un agrandissement (ou ici une réduction de coefficient 0,8) de CBD. Ils ont donc la même forme : ils sont semblables.

Analyse Question 3 : Vérification de l'angle BFE

Sophie affirme que l'angle BFE est droit. Pour le vérifier, deux approches sont possibles. La première utilise la propriété des triangles semblables : puisque CBD est rectangle en B (angle entre les deux plus petits côtés), et que BFE est semblable à CBD, alors l'angle entre les deux plus petits côtés de BFE (soit BF et FE) doit être égal à l'angle CBD. L'angle BFE est donc bien de 90°. La seconde méthode consiste à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle BFE : 6² + 3,2² = 36 + 10,24 = 46,24. D'autre part, 6,8² = 46,24. Comme BF² + FE² = BE², le triangle est rectangle en F.

Analyse Question 4 : L'angle ACD est-il droit ?

Cette question est la plus délicate car elle demande de décomposer l'angle ACD en deux parties : l'angle ACB (dans le triangle ABC) et l'angle BCD (dans le triangle BDC). Dans le triangle BDC rectangle en B, on peut calculer l'angle BCD en utilisant la trigonométrie : tan(BCD) = opposé / adjacent = BD / BC = 4 / 7,5. L'angle BCD vaut environ 28,1°. Dans le triangle ABC, on nous donne l'angle BAC (90°) et l'angle ABC (environ 61° sur le schéma, ou calculable via la somme des angles). Cependant, attention : l'énoncé donne l'angle de 61° au point C. En additionnant l'angle donné (61°) et l'angle calculé précédemment (28,1°), on obtient 89,1°. Ce n'est pas 90°. Max a donc tort. Piège à éviter : Ne te fie jamais à l'œil nu sur une figure qui n'est pas en vraie grandeur.

Conseils de Rédaction et Pièges

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la rédaction est primordiale. Pour Pythagore, n'oublie jamais de citer le triangle et de préciser où il est rectangle. Pour les triangles semblables, cite bien les rapports de longueurs correspondants. Enfin, soigne tes conclusions : une phrase claire répondant directement à la question posée est attendue par le correcteur. Attention aux unités ! Même si elles ne sont pas demandées explicitement dans chaque calcul, elles doivent figurer dans la réponse finale.