Introduction aux notions du Brevet 2018

Cet exercice inaugural du sujet de Brevet 2018 pour la Nouvelle-Calédonie est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format, très fréquent à l'examen, balaye un large spectre du programme de mathématiques de 3ème. Nous allons ici travailler sur quatre piliers fondamentaux : le calcul littéral (développement et réduction), la trigonométrie (utilisation du cosinus), l'arithmétique (propriétés des multiples) et la géométrie de configuration (Théorème de Thalès). Maîtriser ces notions est indispensable pour garantir des points rapides et sécuriser sa mention au Brevet des collèges.

Analyse Question 1 : Le calcul littéral et la double distributivité

La première question porte sur la forme développée et réduite de l'expression $(2x + 5)(x - 2)$. En classe de 3ème, la règle de la double distributivité est un outil majeur. Pour développer cette expression, on applique la formule : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Appliquons cela rigoureusement :
1. On multiplie $2x$ par $x$, ce qui donne $2x^2$.
2. On multiplie $2x$ par $-2$, ce qui donne $-4x$.
3. On multiplie $5$ par $x$, ce qui donne $+5x$.
4. On multiplie $5$ par $-2$, ce qui donne $-10$.

En regroupant les termes, nous obtenons $2x^2 - 4x + 5x - 10$. La réduction finale consiste à simplifier les termes en $x$ : $-4x + 5x = 1x$ (ou simplement $x$). La réponse exacte est donc $2x^2 + x - 10$. On remarque que le piège classique consiste à oublier les termes centraux ou à se tromper dans les signes lors de la multiplication.

Analyse Question 2 : Trigonométrie dans le triangle rectangle

La deuxième question nous présente un triangle ABC, rectangle en A (indiqué par le symbole de l'angle droit). On nous demande de déterminer le cosinus de l'angle $\widehat{ABC}$.
Le rappel de cours indispensable est le fameux 'CAH SOH TOA'. Ici, 'CAH' nous indique que le Cosinus = Côté Adjacent / Hypoténuse.

Dans le triangle ABC :
- L'angle étudié est $\widehat{ABC}$.
- Le côté adjacent à cet angle est le segment [AB], qui mesure 4 unités.
- L'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit et le plus long) est le segment [BC], qui mesure 5 unités.

Par conséquent, $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}$. La réponse B est donc la seule correcte. Il ne faut pas confondre avec le sinus (Opposé/Hypoténuse) qui aurait donné $3/5$, ou la tangente (Opposé/Adjacent) qui aurait donné $3/4$.

Analyse Question 3 : Arithmétique et propriétés des nombres

La question 3 teste notre compréhension des multiples : 'Lorsque j'ajoute deux multiples de 7, j'obtiens toujours...'.
Pour raisonner, utilisons le calcul littéral. Un multiple de 7 peut s'écrire sous la forme $7n$ (où $n$ est un entier) et un autre multiple de 7 peut s'écrire $7m$ (où $m$ est un entier).
Leur somme est : $7n + 7m$. En factorisant par 7, on obtient $7(n + m)$. Puisque $(n + m)$ est également un nombre entier, le résultat est obligatoirement un multiple de 7.

Prenons un exemple concret : $14$ (multiple de 7) + $21$ (multiple de 7) = $35$. $35$ est bien un multiple de 7, mais ce n'est pas un multiple de 14, ni un multiple de 49. La réponse C est la seule généralisable à tous les cas.

Analyse Question 4 : Application du théorème de Thalès

Enfin, la question 4 est une application directe du théorème de Thalès. Nous avons deux triangles emboîtés, AST et ABC, avec les droites (BC) et (ST) qui sont parallèles. Les points A, S, B d'une part et A, T, C d'autre part sont alignés.
D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants :
$\frac{AS}{AB} = \frac{AT}{AC} = \frac{ST}{BC}$.

On nous donne les valeurs : $AS = 42$ m, $AB = 125$ m et $BC = 75$ m. Nous cherchons la longueur $ST$.
Utilisons l'égalité $\frac{AS}{AB} = \frac{ST}{BC}$, ce qui nous donne $\frac{42}{125} = \frac{ST}{75}$.
Par un produit en croix (ou quatrième proportionnelle), on calcule : $ST = \frac{42 \times 75}{125}$.
$42 \times 75 = 3150$. Enfin, $3150 / 125 = 25,2$. La longueur ST est donc de 25,2 m.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Dans ce type de QCM, les erreurs les plus fréquentes sont liées à l'inattention. En calcul littéral, la gestion des signes négatifs est cruciale ($-5 \times -2$ devient positif, mais ici c'est $+5 \times -2$ qui est négatif). En trigonométrie, l'identification du côté adjacent dépend entièrement de l'angle que l'on considère ; si on avait demandé le cosinus de l'angle $\widehat{ACB}$, le résultat aurait été différent. Pour Thalès, l'erreur classique est de mélanger l'ordre des segments dans les rapports (faire Petit/Grand = Grand/Petit). Restez toujours cohérents : placez les longueurs du petit triangle au numérateur et celles du grand triangle au dénominateur.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Même si pour un QCM aucune justification n'est demandée sur la copie finale, il est impératif de réaliser ces calculs et schémas au brouillon. Pour la question sur Thalès, écrivez toujours l'égalité des trois rapports avant de remplacer par les valeurs numériques. Cela permet de vérifier visuellement la cohérence de votre calcul. Pour l'arithmétique, si vous avez un doute, testez la proposition avec de petits nombres (ex: 7 et 14) pour éliminer rapidement les réponses absurdes. Une gestion rigoureuse du temps sur cet exercice 1 vous permettra d'aborder plus sereinement les exercices de problèmes complexes du reste du sujet.