Introduction aux fondamentaux du Brevet : Algèbre et Fonctions

L'exercice 7 du sujet de Brevet Amérique du Nord 2018 est un classique incontournable qui balaie trois piliers du programme de troisième : le calcul littéral, la résolution d'équations et l'étude des fonctions affines. Ces notions représentent souvent une part importante de la note finale. L'objectif ici est d'évaluer votre capacité à manipuler des expressions algébriques, à vérifier une solution numérique et à interpréter graphiquement une fonction linéaire ou affine. Cet exercice est particulièrement intéressant car il demande une rigueur méthodologique sans faille, notamment dans la gestion des signes négatifs et la lecture de repères cartésiens.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le Développement et la Réduction

La première question porte sur l'expression $A = 2x(x - 1) - 4 (x - 1)$. Pour développer et réduire cette expression, deux méthodes s'offrent à vous. La première consiste à utiliser la distributivité simple. Vous devez multiplier $2x$ par chaque terme à l'intérieur de la première parenthèse, soit $2x \times x$ et $2x \times (-1)$. Cela nous donne $2x^2 - 2x$. Ensuite, faites attention au signe '-' devant le chiffre 4. Vous multipliez $-4$ par $x$ et $-4$ par $-1$. Rappelez-vous la règle des signes : moins par moins donne plus ! On obtient donc $-4x + 4$. En regroupant les termes, on arrive à $A = 2x^2 - 2x - 4x + 4$. Enfin, la réduction consiste à additionner les termes de même nature : $A = 2x^2 - 6x + 4$. Une erreur fréquente ici est d'oublier de distribuer le signe moins sur le deuxième terme de la parenthèse, transformant le $+4$ en $-4$. Restez vigilant !

Analyse Méthodique de la Question 2 : Vérification d'une Solution d'Équation

La question nous demande de montrer que $-5$ est une solution de $(2x + 1) \times (x-2) = 63$. Attention : il ne s'agit pas ici de résoudre l'équation de manière classique (ce qui mènerait à une équation du second degré non vue en 3ème sous cette forme), mais de procéder par substitution. La méthode est la suivante : on remplace l'inconnue $x$ par la valeur proposée, ici $-5$, dans le membre de gauche de l'égalité. Calculons séparément les parenthèses : d'une part, $2 \times (-5) + 1 = -10 + 1 = -9$. D'autre part, $-5 - 2 = -7$. Ensuite, on effectue le produit des deux résultats : $(-9) \times (-7)$. Puisque le produit de deux nombres négatifs est positif, on obtient bien $63$. Le résultat étant égal au membre de droite de l'équation, on conclut par une phrase nette : « Puisque le calcul aboutit à 63, le nombre $-5$ est bien solution de l'équation ».

Analyse Méthodique de la Question 3 : Identification Graphique d'une Fonction Affine

On étudie la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 1,5$. C'est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$. Pour identifier le graphique correct, analysez les coefficients :
1. Le coefficient directeur (ou pente) est $a = -3$. Comme il est négatif, la droite doit « descendre » de gauche à droite.
2. L'ordonnée à l'origine est $b = 1,5$. Cela signifie que la droite doit couper l'axe des ordonnées (l'axe vertical) au point de coordonnées $(0 ; 1,5)$.
En observant le Graphique A, la droite monte, ce qui indique un coefficient directeur positif (ici, on peut lire une pente de $+3$). En revanche, le Graphique B montre une droite qui descend. Vérifions l'ordonnée à l'origine : la droite (d2) passe bien entre 1 et 2 sur l'axe vertical à l'abscisse 0. Le choix se porte donc sur le Graphique B. Pour justifier proprement sur votre copie, mentionnez que $f$ est décroissante car son coefficient directeur est négatif, ou calculez l'image d'un point simple, par exemple $f(0) = 1,5$ et $f(1) = -3(1) + 1,5 = -1,5$, puis vérifiez sur les graphiques.

Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le piège majeur dans cet exercice est la gestion des signes, surtout dans la question 1 et la question 2. Un $-5$ mal manipulé peut fausser tout le raisonnement. Pour la rédaction, n'omettez jamais les étapes intermédiaires de calcul. Les correcteurs du Brevet valorisent la démarche autant que le résultat. Par exemple, pour la fonction, ne dites pas juste 'C'est le B', mais expliquez pourquoi en utilisant les termes techniques : 'coefficient directeur' et 'ordonnée à l'origine'. Enfin, assurez-vous de bien distinguer l'image de l'antécédent lors de la lecture graphique.

Conseils pour réussir l'épreuve de Mathématiques

Pour briller au Brevet, la clé est l'entraînement régulier sur les annales comme ce sujet 2018. Maîtriser le calcul littéral vous permettra de gagner du temps pour les exercices de géométrie plus complexes. N'oubliez pas de toujours vérifier vos résultats en remplaçant $x$ par une valeur simple dans vos expressions développées pour voir si vous retrouvez le même résultat que l'expression initiale. C'est l'astuce ultime pour ne jamais perdre de points bêtement !