Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2018 (Amérique du Sud) est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques de 3ème. Il mobilise des compétences transversales essentielles : les programmes de calculs, la manipulation d'équations, l'utilisation du tableur et, surtout, le passage crucial de l'arithmétique au calcul littéral. L'objectif ici est de vérifier si l'élève est capable de passer d'une suite d'instructions concrètes à une modélisation abstraite permettant une démonstration universelle.

Analyse Méthodique Question par Question

1. Application numérique (Questions 1a et 1b)

La première étape consiste à tester les programmes avec une valeur simple : $3$. Pour le Programme 1, on suit l'ordre des opérations : $(3 - 5) = -2$, puis $-2 \times 4 = -8$. Pour le Programme 2, on multiplie d'abord ($3 \times 6 = 18$), on soustrait 20 ($18 - 20 = -2$), puis on soustrait le double du nombre de départ ($2 \times 3 = 6$), soit $-2 - 6 = -8$. Le constat est immédiat : les deux programmes renvoient le même résultat. Conseil pédagogique : Toujours bien décomposer chaque étape sur la copie pour éviter les erreurs de signe, notamment avec les soustractions.

2. Vérification avec un nombre relatif (Question 2)

L'exercice demande ensuite de tester avec $-2$. C'est ici que les élèves commettent souvent des erreurs de calcul mental. Pour le Programme 1 : $(-2 - 5) \times 4 = -7 \times 4 = -28$. Pour le Programme 2 : $(-2 \times 6) - 20 - (2 \times -2) = -12 - 20 - (-4) = -32 + 4 = -28$. On confirme à nouveau l'égalité. L'enjeu ici est la maîtrise de la règle des signes : multiplier un négatif par un négatif donne un positif ($ -2 \times -2 = 4 $). Une erreur ici fausserait la conjecture nécessaire pour la suite de l'exercice.

3. L'exploitation du tableur (Question 3)

Le tableur est une compétence clé du socle commun. La question porte sur la saisie d'une formule en cellule B2. Puisque la colonne B correspond au Programme 1 et que le nombre de départ se situe en colonne A (cellule A2 pour la première ligne), la formule attendue est =(A2-5)*4. Il est impératif de ne pas oublier les parenthèses pour respecter la priorité de la soustraction demandée par le programme. Sans elles, le tableur calculerait $A2 - (5 \times 4)$, ce qui est incorrect. Rappel : une formule de tableur commence toujours par le signe "=".

4. La démonstration universelle par le calcul littéral (Question 4)

C'est le cœur de l'exercice. Pour prouver que Lucie a raison pour *n'importe quel nombre*, on ne peut plus se contenter d'exemples numériques. On introduit une variable $x$.
Pour le Programme 1, l'expression littérale est : $P_1 = (x - 5) \times 4$. En développant par distributivité, on obtient $4x - 20$.
Pour le Programme 2, l'expression est : $P_2 = 6x - 20 - 2x$. En regroupant les termes en $x$, on obtient $P_2 = (6 - 2)x - 20 = 4x - 20$.
Puisque $P_1 = P_2$ pour toute valeur de $x$, la conjecture de Lucie est rigoureusement démontrée. Cette étape marque la transition entre le calcul de collège et la rigueur attendue au lycée.

Les Pièges à éviter

Le piège principal réside dans la traduction de l'instruction "Soustraire le double du nombre de départ". Beaucoup d'élèves oublient de soustraire et font une addition, ou oublient de doubler le nombre. Un autre point de vigilance est la distributivité simple dans l'expression $(x-5) \times 4$. Il faut multiplier $x$ par 4 MAIS AUSSI $-5$ par 4. L'oubli du signe moins devant le 20 est une erreur fréquente qui invalide la démonstration finale.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez clairement vos calculs : "Appliquons le programme 1 au nombre 3...".
2. Pour le tableur, écrivez la formule exactement comme elle doit apparaître à l'écran.
3. Pour la démonstration, utilisez une phrase de conclusion claire : "On constate que les deux expressions réduites sont identiques, donc Lucie a raison quel que soit le nombre choisi au départ." La clarté de l'argumentation est aussi importante que l'exactitude des calculs.