Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2018 (Pondichéry) est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques de 3ème. Il combine quatre piliers majeurs du programme : l'utilisation d'un tableur, la maîtrise du calcul littéral, la résolution d'équations du premier degré et la compréhension des programmes de calculs. L'objectif ici est de passer d'un langage procédural (une suite d'instructions) à un langage algébrique modélisé par des fonctions ou des expressions de type $x$. En fin de cycle 4, l'élève doit être capable de jongler entre ces différentes représentations pour prouver des égalités ou trouver des valeurs spécifiques.

Analyse Méthodique de l'exercice

L'exercice commence par une phase d'appropriation avec des calculs numériques simples pour vérifier la compréhension des programmes A et B.

1. Application du Programme A

Pour le nombre 1 : l'instruction est de soustraire 3, soit $1 - 3 = -2$. Ensuite, on calcule le carré du résultat : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$. Il est crucial de rappeler que le carré d'un nombre négatif est toujours positif. La rédaction doit bien séparer les étapes pour montrer au correcteur la maîtrise des priorités opératoires.

2. Application du Programme B

Tidjane choisit $-5$. Le programme B demande d'élever au carré : $(-5)^2 = 25$. Puis d'ajouter le triple du nombre de départ : $25 + 3 \times (-5) = 25 - 15 = 10$. Enfin, ajouter 7 : $10 + 7 = 17$. Le résultat obtenu est donc 17.

3. Exploitation du Tableur et Formules

La question du tableur est souvent redoutée, mais elle repose sur une logique simple : la cellule cible (B3) doit refléter le programme B appliqué à la valeur d'entrée située en B1. Pour calculer le carré de B1, on utilise la syntaxe B1^2 ou B1*B1. Pour ajouter le triple, on écrit 3*B1. La formule complète à saisir est donc : =B1^2 + 3*B1 + 7. N'oubliez jamais le signe = au début de la formule, sans quoi le tableur considèrera votre saisie comme du simple texte.

4. Modélisation Algébrique et Résolution

C'est ici que l'exercice bascule vers le calcul littéral pur. Pour le programme A : l'expression est $(x - 3)^2$. En utilisant l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, on obtient $x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2$, ce qui donne $x^2 - 6x + 9$. C'est une étape de démonstration fondamentale.

Pour le programme B, l'expression directe est $x^2 + 3x + 7$. La question finale demande si les deux programmes peuvent donner le même résultat. Mathématiquement, cela revient à résoudre l'équation : $x^2 - 6x + 9 = x^2 + 3x + 7$.

On remarque immédiatement que les termes en $x^2$ s'annulent de chaque côté de l'égalité : $-6x + 9 = 3x + 7$. En isolant les $x$, on obtient : $9 - 7 = 3x + 6x$, soit $2 = 9x$, d'où $x = \frac{2}{9}$. Le nombre de départ cherché est donc $\frac{2}{9}$.

Les Pièges à éviter

Le piège le plus fréquent réside dans la gestion des signes négatifs, particulièrement lors de l'élévation au carré dans le programme A. Un autre point de vigilance concerne la syntaxe du tableur : de nombreux élèves oublient les étoiles * pour la multiplication ou les parenthèses nécessaires. Enfin, lors du développement de $(x - 3)^2$, l'erreur classique est d'écrire $x^2 - 9$ ou $x^2 + 9$ en oubliant le double produit $-6x$. Prenez votre temps sur cette étape de développement, car elle conditionne la réussite de la dernière question.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Détaillez chaque étape de calcul numérique (ne donnez pas juste le résultat final).
2. Pour le tableur, précisez bien la cellule de référence (ici B1).
3. Pour l'équation, justifiez la simplification des $x^2$.
4. Concluez par une phrase claire du type : 'Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre $2/9$'. Une présentation aérée avec des calculs alignés facilite la lecture du correcteur et valorise votre copie.