Introduction aux fondamentaux du Brevet : Trigonométrie et Transformations

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges exige une maîtrise rigoureuse de la géométrie plane. Cet exercice, extrait de la session Amérique du Sud 2018 (Exercice 1), se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement stratégique : il permet de tester rapidement vos connaissances sur des points variés du programme tels que la trigonométrie, la symétrie centrale et les homothéties. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de comprendre la structure logique qui mène à la solution, un atout majeur pour réussir l'examen.

Analyse de la Question 1 : Maîtriser le sinus dans le triangle rectangle

La première question nous place dans un triangle ABC rectangle en A. On nous donne deux longueurs : le côté opposé à l'angle recherché, $AC = 3,5$ cm, et l'hypoténuse, $BC = 7$ cm. Pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, il faut mobiliser ses connaissances en trigonométrie. Rappelez-vous l'acronyme SOH CAH TOA. Ici, nous connaissons l'Opposé et l'Hypoténuse, nous utilisons donc le Sinus.

Le calcul se décompose ainsi : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC} = \frac{3,5}{7}$. En simplifiant la fraction, nous obtenons $0,5$. À l'aide de la calculatrice (en mode Degrés), la fonction $\arcsin(0,5)$ ou $\text{sin}^{-1}(0,5)$ nous donne immédiatement $30^\circ$. La réponse correcte est donc la Réponse A. Il est crucial de vérifier que votre calculatrice n'est pas en mode Radian, une erreur fréquente qui fausse tous les résultats en géométrie.

Analyse de la Question 2 : Propriétés des symétries et somme des angles

La deuxième question porte sur une transformation classique : la symétrie centrale de centre O. On nous dit que le triangle DEF est l'image du triangle ABC. La propriété fondamentale à retenir ici est que la symétrie centrale conserve les mesures d'angles. Par conséquent, l'angle $\widehat{DEF}$ aura la même mesure que son antécédent, l'angle $\widehat{ABC}$.

Cependant, le schéma nous donne l'angle $\widehat{BAC} = 35^\circ$ et nous indique (via un codage de carré au point A) que le triangle est rectangle en A. Pour trouver $\widehat{ABC}$, nous appliquons la règle de la somme des angles d'un triangle : $180 - (90 + 35) = 180 - 125 = 55^\circ$. Puisque la symétrie conserve les angles, $\widehat{DEF} = 55^\circ$. C'est la Réponse B. Cette question nécessite une double réflexion : un calcul de base en géométrie du triangle, suivi de l'application d'une propriété de transformation.

Analyse de la Question 3 : Identifier une Homothétie

La troisième question nous demande d'identifier la transformation permettant de passer de la Figure 1 à la Figure 2. En observant attentivement les deux figures, on remarque qu'elles ont la même forme mais des tailles différentes. La Figure 2 est un agrandissement de la Figure 1.

• La translation glisse une figure sans changer sa taille ni son orientation.
• La rotation fait tourner la figure sans changer sa taille.
• L'homothétie, en revanche, réduit ou agrandit une figure à partir d'un centre et d'un rapport.

Comme il y a un changement d'échelle évident, il s'agit d'une homothétie. C'est la Réponse B. Au Brevet, savoir distinguer visuellement ces transformations est essentiel pour gagner du temps.

Les pièges à éviter lors d'un QCM de mathématiques

Le principal danger d'un QCM est la précipitation. Pour la question 1, un élève pourrait utiliser le cosinus au lieu du sinus s'il confond le côté adjacent et le côté opposé. Pour la question 2, l'erreur classique serait de penser que l'angle de $35^\circ$ est celui recherché, sans faire la soustraction nécessaire. Enfin, pour les transformations, veillez à ne pas confondre homothétie et agrandissement : si le terme 'agrandissement' est souvent utilisé dans le langage courant, le terme mathématique exact pour la transformation est l'homothétie.

Conseils de rédaction et stratégie de points

Bien que l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue, je vous conseille vivement de faire vos calculs au brouillon de manière organisée. Sur votre copie, respectez la consigne : indiquez simplement le numéro de la question et la lettre de la réponse (ex: 1. A / 2. B / 3. B). Ne perdez pas de temps à rédiger des démonstrations si elles ne sont pas demandées, cela vous permettra de consacrer plus de temps aux exercices de problèmes plus complexes en fin de sujet.

Récapitulatif théorique pour le Brevet

Pour briller sur ce type d'exercice, vous devez maîtriser trois piliers : la trigonométrie (connaître ses formules par cœur), les propriétés des transformations (symétries, rotations, translations, homothéties) et la géométrie de base (somme des angles d'un triangle). Ce sujet de 2018 montre bien que le Brevet ne cherche pas seulement à tester votre capacité de calcul, mais aussi votre acuité visuelle et votre rigueur conceptuelle. Continuez à vous entraîner avec des annales pour automatiser ces raisonnements.