Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice du Brevet des collèges 2019 (Antilles-Guyane) constitue une excellente préparation pour réviser deux piliers du programme de troisième : le calcul numérique (arithmétique) et les probabilités. L'énoncé nous place dans une situation de lancer de dés originaux, ce qui permet d'évaluer la compréhension des ensembles de nombres : les nombres pairs, les nombres impairs et surtout les nombres premiers. Maîtriser ces définitions est indispensable, car elles tombent quasiment chaque année au brevet sous différentes formes (décomposition en facteurs premiers, fractions irréductibles ou probabilités discrètes).

Analyse Méthodique de l'exercice

Dans la première question, l'objectif est de lister des ensembles de nombres en respectant des contraintes strictes. Pour le deuxième dé (nombres impairs positifs), il faut commencer à $1$. Les six premiers sont donc $1, 3, 5, 7, 9, 11$. Pour le troisième dé, la notion de nombre premier est centrale. Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Attention, par définition, $1$ n'est pas premier ! La liste attendue est donc $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Cette étape est cruciale car une erreur ici fausserait tout le reste de l'exercice.

La deuxième question introduit les carrés parfaits et les probabilités. Zoé obtient un carré de $25$. En mathématiques, l'équation $x^2 = 25$ possède deux solutions : $5$ et $-5$. Cependant, comme nous travaillons sur les faces d'un dé, la seule valeur possible est $5$. Concernant Léo et son dé de nombres pairs ($2, 4, 6, 8, 10, 12$), on compare les carrés de ses faces à celui de Zoé ($25$). Ses résultats possibles sont $4, 16, 36, 64, 100, 144$. On dénombre alors les cas favorables : $36, 64, 100$ et $144$ sont tous supérieurs à $25$. Il y a donc $4$ issues favorables sur $6$ issues possibles. La probabilité est de $4/6$, soit $2/3$ après simplification. N'oubliez jamais de simplifier vos fractions au brevet !

La troisième question porte sur la décomposition d'un produit. Mohamed obtient $525$ en multipliant quatre nombres. La méthode consiste à décomposer $525$ en produit de facteurs premiers. On remarque que $525$ se termine par $5$, il est donc divisible par $5$ : $525 = 5 \times 105$. De même, $105 = 5 \times 21$, et $21 = 3 \times 7$. La décomposition unique est donc $3 \times 5 \times 5 \times 7$. Puisqu'il y a $4$ lancers, les nombres obtenus sont obligatoirement $3, 5, 5$ et $7$. Pour savoir quel dé a été utilisé, on vérifie la présence de ces chiffres sur les dés. Le dé 1 (pairs) est exclu. Le dé 2 (impairs) contient $3, 5$ et $7$. Le dé 3 (premiers) contient aussi $3, 5$ et $7$. On ne peut donc pas déterminer avec certitude le dé choisi.

Les Pièges à éviter au Brevet

Le piège classique de cet exercice est la confusion sur le nombre $1$. Beaucoup d'élèves pensent que $1$ est un nombre premier, ce qui est faux. Un autre piège réside dans l'oubli de la justification pour la question 3 : il ne suffit pas de donner les nombres, il faut montrer la décomposition du nombre $525$. Enfin, veillez à bien lire l'énoncé sur les nombres pairs : "strictement positifs" signifie qu'on ne commence pas à $0$.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Utilisez des phrases de conclusion claires du type : "La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur est de $2/3$". Pour les questions de justification, montrez vos calculs de décomposition. En probabilités, rappelez toujours la formule : $P = \text{Nombre de cas favorables} / \text{Nombre total de cas}$. Cela montre au correcteur que vous maîtrisez la théorie même si vous faites une petite erreur de calcul.