Introduction aux notions : Géométrie dans l'espace et Proportionnalité

Cet exercice issu du Brevet 2019 (Nouvelle-Calédonie) est un modèle du genre pour tester la polyvalence des élèves de troisième. Il articule trois piliers du programme de mathématiques : la maîtrise des grandeurs composées, la manipulation de la proportionnalité et la prise d'initiatives. L'objectif est de modéliser une situation concrète (le calcul du nombre de cheveux sur une tête) par des objets géométriques simples, ici la sphère. Cette capacité à transformer un problème réel en modèle mathématique est au cœur des attentes du Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique de la Question 1 : Du Périmètre au Rayon

La première question demande de montrer que le rayon d'un cercle de périmètre $56$ cm est environ égal à $9$ cm. C'est un exercice classique d'inversion de formule. Le sujet rappelle gentiment la formule du périmètre : $\mathcal{P} = 2\pi R$. Pour réussir, l'élève doit isoler $R$.

Le raisonnement doit être structuré ainsi : on part de l'égalité $56 = 2 \times \pi \times R$. Pour trouver $R$, on divise le périmètre par $2\pi$. Soit $R = 56 / (2\pi)$. À l'aide de la calculatrice, on obtient $R \approx 8,9126...$. La consigne demandant de vérifier que la valeur est proche de $9$ cm, l'arrondi à l'unité est ici parfaitement justifié. Conseil du professeur : Ne confondez jamais le diamètre ($2R$) et le rayon ($R$). Dans beaucoup d'exercices, l'énoncé donne le diamètre pour vous piéger, restez vigilants !

Analyse Méthodique de la Question 2 : Estimation et Grandeurs Composées

La seconde question est une tâche complexe qui demande plusieurs étapes de calcul. Elle valorise la "prise d'initiative". Guillaume ne considère que la moitié de la surface de sa tête (le cuir chevelu). L'élève doit donc calculer l'aire totale de la sphère puis la diviser par deux.

1. Calcul de l'aire de la sphère : En utilisant la formule $\mathcal{A} = 4\pi R^2$ avec le rayon $R \approx 9$ cm trouvé précédemment, on obtient $\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 9^2 = 4 \times \pi \times 81 = 324\pi$. Soit environ $1017,87$ cm².
2. Calcul de la surface recouverte de cheveux : Puisque les cheveux recouvrent la moitié de la tête, on divise par deux : $1017,87 / 2 \approx 508,9$ cm².
3. Utilisation de la densité (Proportionnalité) : On sait qu'il y a $250$ cheveux par cm². Il suffit de multiplier la surface obtenue par la densité : $508,9 \times 250 = 127\,225$ cheveux.

L'estimation finale tourne autour de $127\,000$ à $130\,000$ cheveux selon les arrondis effectués durant les étapes intermédiaires. Dans ce type de question, le correcteur n'attend pas un chiffre exact au cheveu près, mais une démarche cohérente et justifiée.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice réside dans l'oubli de la division par $2$. L'énoncé précise bien que les cheveux recouvrent "la moitié de la surface de sa tête". Un autre point de vigilance concerne les unités : nous travaillons ici en centimètres (pour le périmètre et le rayon) et en centimètres carrés (pour l'aire). Si les données avaient été en mètres, une conversion aurait été indispensable avant de multiplier par la densité de cheveux exprimée en cm².

Enfin, attention à l'utilisation de la touche $\pi$ de la calculatrice. Utiliser $3,14$ peut parfois entraîner des écarts d'arrondis significatifs dans les calculs d'aires impliquant des carrés ($R^2$). Privilégiez toujours la valeur exacte de la touche $\pi$ jusqu'au résultat final.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points (notamment sur la partie "trace de recherche"), suivez ces règles :
- Citez explicitement la formule que vous utilisez avant d'injecter les chiffres.
- Présentez vos calculs de manière aérée, une étape par ligne.
- N'oubliez pas l'unité dans la phrase de conclusion (ici, le nombre de cheveux est une quantité sans unité, mais la surface doit être en cm²).
- Si vous êtes bloqué, écrivez quand même votre raisonnement : "Je sais que je dois calculer l'aire, puis la diviser par deux, puis multiplier par 250". Même sans le calcul final, cette intention pédagogique rapporte des points.