Introduction aux fondamentaux de la géométrie du Brevet

L'exercice 4 du sujet de brevet 2019 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un cas d'école pour tout élève de troisième. Il mobilise deux piliers majeurs du programme de mathématiques : le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. L'énoncé place l'élève dans une situation concrète : Thomas et son cerf-volant. Cette mise en situation n'est pas qu'un simple décor ; elle nécessite une lecture attentive pour extraire les données numériques essentielles et les traduire en objets géométriques exploitables (points, segments, triangles rectangles). Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment passer d'une situation réelle (des pas, une corde, un cerf-volant) à une démonstration mathématique rigoureuse permettant de calculer des hauteurs et des longueurs précises.

Analyse de la Question 1 : Maîtriser le Théorème de Pythagore

La première question nous demande de démontrer que la hauteur $CH$ du cerf-volant est de 9 mètres. Avant même de parler de Pythagore, l'élève doit effectuer une étape de conversion cruciale. L'énoncé indique que Thomas fait 20 pas et que chaque pas mesure 0,6 mètre. La distance $TH$ est donc de $20 \times 0,6 = 12$ mètres. Sans ce calcul préliminaire, la suite de l'exercice est impossible. Une fois cette valeur obtenue, nous identifions le triangle $THC$. Le schéma et le contexte (une hauteur est perpendiculaire au sol) nous indiquent que le triangle $THC$ est rectangle en $H$. C'est la condition sine qua non pour utiliser le théorème de Pythagore.

Le raisonnement doit être structuré ainsi : dans le triangle $THC$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité $TC^2 = TH^2 + CH^2$. Ici, nous cherchons un côté de l'angle droit ($CH$) et non l'hypoténuse. Il faut donc manipuler l'égalité : $CH^2 = TC^2 - TH^2$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $CH^2 = 15^2 - 12^2$, soit $CH^2 = 225 - 144 = 81$. Pour trouver $CH$, on calcule la racine carrée de 81, ce qui nous donne exactement $9$ mètres. Cette étape montre l'importance de connaître ses carrés par cœur pour gagner du temps lors de l'épreuve.

Analyse de la Question 2 : L'application du Théorème de Thalès

Dans la seconde partie, Thomas change la configuration pour atteindre une hauteur $EF = 13,5$ mètres. On nous demande de calculer la longueur de la corde $TE$. Ici, le changement de triangle (de $THC$ vers $TFE$) suggère immédiatement l'utilisation du théorème de Thalès. Cependant, pour l'appliquer, il faut prouver que les droites $(CH)$ et $(EF)$ sont parallèles. L'énoncé précise que les points $T, H, F$ sont alignés ainsi que $T, C, E$. De plus, comme $CH$ et $EF$ représentent des hauteurs par rapport au même sol (la droite $TF$), elles sont toutes deux perpendiculaires à $(TF)$. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Cette justification est souvent oubliée par les élèves mais elle est indispensable pour obtenir l'intégralité des points.

Une fois le parallélisme établi, nous appliquons le théorème de Thalès dans les triangles $THC$ et $TFE$. On établit l'égalité des rapports : $\frac{TC}{TE} = \frac{TH}{TF} = \frac{CH}{EF}$. Nous connaissons $TC = 15$, $CH = 9$ et $EF = 13,5$. Le rapport qui nous intéresse est $\frac{15}{TE} = \frac{9}{13,5}$. Par un simple produit en croix (ou quatrième proportionnelle), nous trouvons $TE = \frac{15 \times 13,5}{9}$. Le calcul donne $TE = 22,5$ mètres. Ce résultat est cohérent puisque le cerf-volant est plus haut, la corde doit donc être plus longue que les 15 mètres initiaux.

Les pièges à éviter et conseils de rédaction

Le premier piège de cet exercice est l'unité. Bien que tout soit finalement en mètres, l'introduction de la notion de 'pas' peut déstabiliser. Assurez-vous de toujours travailler dans la même unité de mesure. Le second piège concerne la confusion entre les deux théorèmes. Rappelez-vous : Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle quand on en connaît deux autres, tandis que Thalès sert à calculer des longueurs dans des configurations de triangles emboîtés ou en papillon avec des droites parallèles.

Pour la rédaction, soyez méticuleux. Les correcteurs du Brevet attendent une structure de réponse claire : 1. Enoncé des conditions (triangle rectangle ou droites parallèles), 2. Citation du théorème utilisé, 3. Calcul détaillé, 4. Conclusion avec l'unité. Ne négligez pas la phrase de conclusion. Par exemple : 'La longueur de la corde nécessaire pour que le cerf-volant atteigne 13,5 m de hauteur est de 22,5 mètres'. Une rédaction propre et aérée facilite la correction et montre votre maîtrise du sujet.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est un classique ?

Cet exercice de 2019 est représentatif de ce que l'on attend d'un élève de 3ème : savoir extraire des informations d'un schéma, effectuer des conversions simples, et enchaîner les deux théorèmes rois du collège. La géométrie au Brevet n'est pas seulement une question de calcul, c'est avant tout une question de logique et de justification. En maîtrisant les propriétés des droites perpendiculaires et parallèles, ainsi que les égalités de Pythagore et Thalès, vous vous assurez une réussite totale sur cette partie de l'examen. Continuez à vous entraîner sur des annales similaires pour automatiser ces raisonnements et gagner en rapidité.