Introduction aux Fonctions et Équations au Brevet
L'exercice 3 du sujet de Brevet 2019 de Nouvelle-Calédonie est un classique incontournable pour tout élève de 3ème préparant son examen. Il porte sur les notions fondamentales de fonctions affines, de fonctions linéaires et de résolution d'équations. La maîtrise de ces concepts est cruciale car elle représente souvent une part importante des points lors de l'épreuve finale de mathématiques. Cet exercice permet de vérifier si l'élève sait passer d'une représentation graphique à une expression algébrique, et vice-versa. Nous allons explorer ici comment interpréter des antécédents, calculer des images, et résoudre graphiquement ainsi qu'algébriquement l'intersection de deux droites.
Analyse Méthodique de l'Exercice
La première partie de l'exercice se concentre sur la fonction $g$. Il s'agit d'une étude purement graphique au départ. On nous demande d'abord de trouver l'antécédent de $4$ par la fonction $g$. Pour ce faire, il faut se placer sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical) à la valeur $4$, se déplacer horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe (ici une droite bleue), puis redescendre verticalement vers l'axe des abscisses pour lire la valeur $x$. Dans ce cas précis, on observe que pour $y=4$, la valeur de $x$ est $2$. L'antécédent de $4$ est donc $2$.
Ensuite, le tableau de valeurs demande de compléter les cases manquantes. C'est un exercice de lecture croisée. Pour remplir la case sous $x = -2$, on cherche l'image de $-2$ sur le graphique. On monte depuis $-2$ sur l'axe des abscisses jusqu'à la droite, et on lit $12$ sur l'axe des ordonnées. Pour les autres cases, on applique la même logique : si on connaît l'image $g(x) = 8$, on cherche l'antécédent (qui est $0$ puisque la droite coupe l'axe des ordonnées en $8$), et pour $g(x) = -4$, on trouve l'abscisse correspondante qui est $6$.
La Fonction Linéaire $f$
La deuxième question introduit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$. C'est une fonction linéaire, ce qui signifie que sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère $(0,0)$. On nous demande l'image de $-2$. Le calcul est simple : $f(-2) = 2 \times (-2) = -4$. Pour calculer $f(3)$, on effectue $2 \times 3 = 6$.
Le traçage de la droite représentative de $f$ nécessite deux points. Nous en avons déjà plusieurs : l'origine $(0,0)$ et le point de coordonnées $(3,6)$ que nous venons de calculer. Il suffit de relier ces points à la règle. Cette étape est déterminante pour la suite de l'exercice car la précision du tracé influencera la lecture graphique de l'intersection.
Intersection et Résolution d'Équation
Le point $S$ est l'endroit où les deux représentations graphiques se croisent. Graphiquement, l'abscisse de ce point semble se situer à $x = 2$. C'est à ce moment précis que les deux fonctions renvoient la même valeur d'ordonnée. Pour valider cette observation, l'exercice nous donne enfin l'expression algébrique de $g$ : $g(x) = -2x + 8$.
La résolution de l'équation $2x = -2x + 8$ est le cœur algébrique du problème. On regroupe les termes en $x$ d'un côté du signe égal : $2x + 2x = 8$, soit $4x = 8$. En divisant par $4$, on obtient $x = 2$. Ce résultat n'est pas une coïncidence : il confirme exactement la lecture graphique faite précédemment. L'abscisse du point d'intersection $S$ est la solution de l'équation $f(x) = g(x)$.
Les Pièges à Éviter Absolument
Le piège le plus fréquent est l'inversion entre abscisse et ordonnée. Rappelez-vous toujours : l'image se lit sur l'axe vertical (ordonnées, $y$), et l'antécédent se cherche sur l'axe horizontal (abscisses, $x$). Une astuce mnémotechnique : l'antécédent vient 'avant', comme le $x$ vient avant le $y$ dans l'alphabet.
Un autre piège concerne le tracé de la droite. Une erreur d'un millimètre peut fausser la lecture graphique du point d'intersection. Utilisez toujours un crayon bien taillé et vérifiez au moins trois points pour être certain de votre alignement. Enfin, lors de la résolution de l'équation, attention aux changements de signes. Lorsque $-2x$ passe de l'autre côté de l'égalité, il devient $+2x$.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le résultat. Pour une lecture graphique, écrivez : 'Par lecture graphique, on repère le point d'ordonnée $4$ et on lit son abscisse sur l'axe horizontal'. Pour les calculs, détaillez chaque étape de l'équation comme montré ci-dessus. N'oubliez pas de conclure par une phrase claire : 'L'abscisse du point d'intersection $S$ est donc $2$'. Cela montre au correcteur que vous avez compris le lien entre l'outil algébrique et l'outil graphique.