Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet 2019 (Amérique du Nord) est un véritable cas d'école. Il synthétise les trois piliers du programme de troisième : le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès. Ce triptyque géométrique est quasi systématique lors de l'examen national. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver des valeurs numériques, mais de démontrer une rigueur mathématique exemplaire dans la rédaction. Nous allons explorer comment utiliser les propriétés des triangles pour prouver une orthogonalité, calculer un angle et vérifier un parallélisme.

Analyse Question 1 : La réciproque du théorème de Pythagore

La première question nous demande de démontrer que le triangle AEF est rectangle en E. Nous connaissons les trois longueurs : $AE = 8$ cm, $AF = 10$ cm et $EF = 6$ cm. Pour prouver qu'un triangle est rectangle sans angle droit marqué, la méthode incontournable est la réciproque du théorème de Pythagore.

Le raisonnement doit se structurer ainsi : identifiez d'abord le côté le plus long, ici $[AF]$ avec 10 cm. Calculez séparément le carré de cette longueur et la somme des carrés des deux autres côtés. D'une part, $AF^2 = 10^2 = 100$. D'autre part, $AE^2 + EF^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Nous constatons que $AF^2 = AE^2 + EF^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle AEF est rectangle en E. Notez bien que l'égalité doit être parfaite pour conclure.

Analyse Question 2 : Utiliser la Trigonométrie pour trouver un angle

Dès qu'un triangle est rectangle, les outils de trigonométrie (Cosinus, Sinus, Tangente) deviennent accessibles. Ici, on cherche la mesure de l'angle $\widehat{EAF}$. Vous avez le choix entre les trois rapports, car toutes les longueurs sont connues. Cependant, il est stratégique d'utiliser les données de l'énoncé initial pour éviter de propager une éventuelle erreur.

Utilisons le cosinus : $\cos(\widehat{EAF}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AE}{AF} = \frac{8}{10} = 0,8$. À l'aide de la calculatrice, en utilisant la touche 'Arccos' ou '2nd Cos', on obtient $\widehat{EAF} = \arccos(0,8) \approx 36,86°$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, la réponse attendue est donc environ $37°$. La précision du vocabulaire (adjacent vs opposé) est ici la clé de la réussite.

Analyse Question 3 : La réciproque ou contraposée de Thalès

La question porte sur le parallélisme des droites (EF) et (RT). Nous sommes dans une configuration de Thalès dite 'en papillon' ou 'imbriquée' (ici, les points sont alignés sur deux droites sécantes en A). Pour vérifier si (EF) // (RT), nous devons comparer les rapports de longueurs partant du sommet commun A : $\frac{AE}{AR}$ et $\frac{AF}{AT}$.

Calculons d'une part $\frac{AE}{AR} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0,666...$ et d'autre part $\frac{AF}{AT} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0,714...$. On observe que $\frac{2}{3} \neq \frac{5}{7}$. Puisque les rapports ne sont pas égaux, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles. Attention : utilisez toujours les fractions pour comparer, car les valeurs décimales arrondies peuvent vous induire en erreur.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points précieux :
1. L'oubli de l'unité : Bien que les calculs se fassent sans unités, la conclusion doit mentionner les centimètres ou les degrés.
2. La confusion des théorèmes : N'utilisez pas le théorème de Pythagore 'direct' pour prouver qu'un triangle est rectangle, c'est la réciproque qui sert à cela !
3. Mauvais mode de calculatrice : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'Degré' (DEG) et non en 'Radian' ou 'Grade' pour la trigonométrie.
4. Rédaction incomplète : Pour Thalès, oubliez de préciser que les points A, E, R et A, F, T sont alignés dans cet ordre est une faute fréquente.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour chaque question, adoptez la structure 'Je sais que', 'Or d'après la propriété...', 'Donc...'. Les correcteurs du Brevet valorisent énormément la clarté. Par exemple, pour la question 3, écrivez explicitement : 'Les points A, E, R sont alignés ainsi que les points A, F, T. Comparons les rapports...'. Une présentation propre avec des calculs mis en évidence (soulignés ou encadrés) permet au correcteur de suivre votre raisonnement logique même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin.