Introduction aux notions de Trigonométrie et Thalès au Brevet
L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2019 pour la zone Antilles-Guyane est un cas d'école parfait pour les élèves de 3ème. Il combine deux piliers fondamentaux de la géométrie plane : la trigonométrie dans le triangle rectangle et le théorème de Thalès. L'énoncé nous place dans une situation concrète : Leila souhaite se prendre en photo devant la Tour Eiffel de manière à paraître aussi grande que le monument. Ce type de problème de perspective est récurrent dans les épreuves nationales car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle par des figures géométriques simples (triangles emboîtés et triangles rectangles).
Analyse Méthodique de la Question 1 : Calcul d'un angle
La première question nous demande de calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAB}}$. Pour réussir cette étape, le premier réflexe doit être d'identifier la configuration géométrique. Nous sommes en présence d'un triangle $ABH$ que nous supposons rectangle en $B$ (la Tour Eiffel étant verticale et le sol horizontal). Dans ce triangle, nous connaissons deux longueurs : le côté opposé à l'angle, $BH = 324$ m, et le côté adjacent, $AB = 600$ m. La relation trigonométrique qui lie l'angle, le côté opposé et le côté adjacent est la tangente.
Le raisonnement doit être rigoureusement rédigé : 'Dans le triangle $ABH$ rectangle en $B$, on a $\tan(\widehat{\text{HAB}}) = \frac{BH}{AB}$'. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $\tan(\widehat{\text{HAB}}) = \frac{324}{600} = 0,54$. Pour trouver la mesure de l'angle, il faut utiliser la fonction inverse de la tangente (souvent notée $\arctan$ ou $\tan^{-1}$) sur la calculatrice. On trouve $\widehat{\text{HAB}} \approx 28,36^\circ$. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est $\mathbf{28^\circ}$.
Analyse Méthodique de la Question 2 : Application du Théorème de Thalès
La deuxième question introduit une problématique de proportionnalité des longueurs. Leila (segment vertical) doit être placée de telle sorte que son sommet coïncide visuellement avec le sommet de la Tour Eiffel depuis l'objectif de l'appareil photo situé au point $A$. Nous avons ici deux droites verticales (Leila et la Tour Eiffel) qui sont toutes deux perpendiculaires au sol (la droite $(AB)$). Par conséquent, ces deux droites sont parallèles entre elles. Cette configuration est la signature directe du théorème de Thalès.
Soit $L'$ le sommet de la tête de Leila. Les points $A, L, B$ sont alignés ainsi que les points $A, L', H$. Les droites $(LL')$ et $(BH)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire l'égalité des rapports : $\frac{AL}{AB} = \frac{LL'}{BH}$. Nous cherchons la distance $AL$. En isolant $AL$, nous obtenons $AL = \frac{AB \times LL'}{BH}$. En injectant les données ($AB = 600$ m, $LL' = 1,70$ m et $BH = 324$ m), le calcul donne $AL = \frac{600 \times 1,70}{324} = \frac{1020}{324} \approx 3,1481...$ m. L'énoncé demande un arrondi au centimètre près (soit deux chiffres après la virgule en mètres), donc $AL \approx \mathbf{3,15}$ m.
Les Pièges Classiques à Éviter
Lors de cet exercice, plusieurs erreurs peuvent coûter des points : 1. **Le mode de la calculatrice** : Assurez-vous d'être en mode 'Degré' et non en 'Radian' ou 'Grade', sinon le calcul de l'angle sera faux. 2. **Le choix de la formule** : Ne confondez pas Sinus, Cosinus et Tangente. Rappelez-vous du moyen mnémotechnique 'SOH CAH TOA'. 3. **L'oubli des unités** : Bien que les calculs se fassent sans les unités, la phrase de réponse doit impérativement mentionner les mètres ou les degrés. 4. **L'arrondi** : Lisez bien la consigne. Un arrondi au centimètre près pour $3,148$ m devient $3,15$ m et non $3,1$ m ou $3,14$ m.
Conseils de Rédaction pour le Jour de l'Examen
Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la rédaction est aussi importante que le résultat. Pour la trigonométrie, n'oubliez jamais de préciser que le triangle est rectangle. C'est la condition sine qua non pour utiliser les formules. Pour Thalès, il est indispensable de citer les deux conditions : l'alignement des points dans le bon ordre et surtout le parallélisme des droites. Citez explicitement le nom du théorème utilisé. Enfin, présentez vos résultats de manière claire en encadrant la réponse finale et en vérifiant que la valeur obtenue est cohérente avec la réalité (une distance de $3$ mètres pour une photo semble plus réaliste que $300$ mètres !).