Introduction aux notions clés du Brevet

L'exercice 3 du sujet Brevet 2019 pour les centres étrangers est un classique indispensable pour tout élève de troisième. Il combine habilement trois piliers du programme de mathématiques : le calcul littéral, la résolution d'équations et l'algorithmique (programmation avec Scratch). L'objectif est de démontrer que l'élève est capable de passer d'une représentation géométrique (triangle et rectangle) à une expression algébrique, puis de valider ces modèles via un script informatique.

Analyse Méthodique de la Partie I : Géométrie et Algèbre

Dans la première partie, l'énoncé introduit une variable $x$ représentant un nombre positif. C'est ici que commence le travail de modélisation. La première question demande de construire le triangle équilatéral pour $x = 2$. C'est une application directe : le côté du triangle est défini par l'expression $4x + 1$. Si $x = 2$, alors le côté mesure $4 \times 2 + 1 = 9$ cm. L'élève doit donc tracer un triangle de 9 cm de côté.

Démontrer le périmètre du rectangle

La question 2.a est cruciale. On nous demande de prouver que le périmètre du rectangle est $12x + 3$. Pour rappel, le périmètre d'un rectangle se calcule avec la formule $P = 2 \times (L + l)$. Ici, la longueur $L$ est $4x + 1,5$ et la largeur $l$ est $2x$. En remplaçant, nous obtenons : $P = 2 \times ((4x + 1,5) + 2x)$. En réduisant l'expression à l'intérieur de la parenthèse, on a $4x + 2x = 6x$. Ainsi, $P = 2 \times (6x + 1,5)$. En appliquant la distributivité simple, on obtient $P = 12x + 3$. Cette étape demande de la rigueur dans la gestion des parenthèses et des priorités opératoires.

Résoudre une équation du premier degré

La question 2.b demande de trouver $x$ pour que ce périmètre soit égal à 18 cm. Cela revient à résoudre l'équation $12x + 3 = 18$. La méthode consiste à isoler $x$ : d'abord en soustrayant 3 de chaque côté ($12x = 15$), puis en divisant par 12 ($x = 15/12$). La simplification de la fraction donne $x = 1,25$. C'est un excellent test sur la maîtrise des équations de base.

Comparaison des deux figures

La question 3 demande si les deux figures ont toujours le même périmètre. Le périmètre du triangle équilatéral est $3 \times (4x + 1)$, soit $12x + 3$ après développement. On remarque que l'expression est identique à celle du rectangle. On en conclut que, quelle que soit la valeur de $x$, les deux périmètres seront toujours égaux. C'est une démonstration par l'algèbre pure.

Analyse de la Partie II : Algorithmique et Scratch

La seconde partie bascule sur la programmation. Le script 1 correspond au rectangle. Pourquoi ? Parce qu'il contient deux instructions d'avance et deux rotations au sein d'une boucle. Pour le rectangle, il faut répéter 2 fois l'action de tracer deux côtés adjacents. Donc A = 2. Pour l'angle B, dans un rectangle, la rotation est de 90 degrés. On notera que le script effectue déjà une rotation de 90 degrés à la fin, donc B = 90 permet de compléter le cycle.

Le script 2 correspond au triangle équilatéral. Pour tracer un triangle, on répète l'opération 3 fois, donc C = 3. L'angle de rotation D est le piège classique. Dans Scratch, pour tracer un polygone régulier, on tourne de l'angle extérieur. Pour un triangle équilatéral (angle intérieur de 60°), la rotation doit être de $360 / 3 = 120$ degrés. Donc D = 120.

Les Pièges à éviter

Attention à la confusion entre l'angle intérieur d'une figure et l'angle de rotation dans Scratch. De nombreux élèves écrivent 60° pour le triangle, ce qui produirait un hexagone. Un autre piège réside dans le développement de $3(4x+1)$ : n'oubliez pas de distribuer le 3 sur le 4x ET sur le 1. Enfin, vérifiez toujours les unités (ici le cm) pour ne pas perdre de points bêtement sur la rédaction.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, explicitez vos calculs. Ne donnez pas juste le résultat $x=1,25$. Écrivez l'équation de départ, montrez l'étape de soustraction et la division finale. En Scratch, justifiez votre choix de figure par le nombre de répétitions (3 pour un triangle, 2 ou 4 pour un rectangle). Une copie claire et structurée avec des titres de parties rassure le correcteur sur votre maîtrise du sujet.