Introduction aux Probabilités et Statistiques du Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques de Nouvelle-Calédonie (session 2019) constitue un support pédagogique idéal pour réviser deux piliers fondamentaux du programme de troisième : les probabilités simples et les calculs de pourcentages. Dans cet énoncé, nous suivons Hugo dans la réalisation d'une mosaïque, une situation concrète qui permet d'aborder la notion d'équiprobabilité. L'objectif ici est de transformer un inventaire d'objets (les carreaux de différentes couleurs) en un modèle mathématique exploitable. Maîtriser ce type d'exercice est crucial car il apparaît dans pratiquement chaque sujet de Brevet des collèges sous une forme ou une autre.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

La première étape indispensable, avant même de lire les questions, est de calculer l'effectif total de la population étudiée. Hugo dispose de quatre types de carreaux : 22 violets, 2 blancs, 162 noirs et 110 verts. L'univers des possibles, noté souvent $\Omega$ en classe de lycée mais simplifié en effectif total au collège, est la somme de ces éléments.
Calcul : $22 + 2 + 162 + 110 = 296$. Hugo possède donc un total de 296 carreaux. Cette valeur sera le dénominateur de toutes nos fractions de probabilité.

Question 1 : Probabilité d'un événement simple

On nous demande la probabilité de choisir un carreau vert. Puisque nous sommes dans une situation d'équiprobabilité (le texte précise que chaque carreau a la même chance d'être choisi), on applique la formule de Laplace : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$. Ici, l'événement est « choisir un vert ». Il y a 110 carreaux verts. La probabilité est donc de $\frac{110}{296}$. Pour une rédaction parfaite, simplifiez la fraction si nécessaire ou donnez une valeur décimale approchée au millième près.

Question 2 : L'événement contraire (complémentaire)

La question porte sur la probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet. Deux méthodes s'offrent à l'élève. La première consiste à sommer tous les autres carreaux (blancs + noirs + verts). La seconde, plus élégante et rapide, utilise la propriété de l'événement contraire : $P(\bar{V}) = 1 - P(V)$. Sachant qu'il y a 22 carreaux violets, la probabilité de tirer un violet est $\frac{22}{296}$. Par conséquent, la probabilité de ne pas en tirer est $1 - \frac{22}{296} = \frac{274}{296}$. Cela montre votre aisance avec les manipulations de fractions.

Question 3 : Union d'événements incompatibles

Quelle est la probabilité que le carreau soit noir ou blanc ? En probabilités, le « ou » correspond à l'addition des probabilités des événements, à condition qu'ils soient incompatibles (on ne peut pas être noir et blanc en même temps). Il suffit donc d'additionner le nombre de carreaux noirs (162) et le nombre de carreaux blancs (2). On obtient $162 + 2 = 164$ cas favorables sur 296. La probabilité recherchée est $\frac{164}{296}$.

Question 4 : Application des pourcentages

Bien que l'énoncé soit tronqué dans la source, la mention de « 75% » implique généralement un calcul d'effectif partiel. Si Hugo a collé 75% du total des carreaux en une journée, le calcul à effectuer est : $296 \times \frac{75}{100}$. Cela revient à multiplier 296 par 0,75, ce qui donne 222 carreaux. Savoir passer d'un pourcentage à une quantité physique est une compétence de base évaluée au Diplôme National du Brevet (DNB).

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de calculer le total global dès le début. Sans le nombre 296, aucune probabilité ne peut être calculée. Un autre piège classique est de confondre « nombre de chances » et « probabilité ». Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Si vous trouvez un résultat supérieur à 1 (comme 296/110), c'est que vous avez inversé la fraction. Enfin, lisez attentivement les négations comme « ne pas choisir », qui changent radicalement le calcul.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points :
1. Commencez par définir clairement l'effectif total : « Le nombre total de carreaux est... ».
2. Citez la formule du cours : « En situation d'équiprobabilité, la probabilité est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre d'issues totales ».
3. Présentez vos résultats sous forme de fraction simplifiée ou irréductible, ou utilisez l'écriture décimale si elle tombe juste. Encadrez votre réponse finale.