Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 2 du sujet de Brevet de Mathématiques 2019 en Polynésie est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mobilise des concepts transversaux : les fonctions affines, l'utilisation d'un tableur, l'algorithmique (via Scratch) et la résolution d'équations. Comprendre l'interaction entre un programme de calcul et une expression algébrique est l'une des clés pour obtenir une excellente note à l'épreuve.

Analyse Partie 1 : Fonctions et Tableur

La première partie repose sur l'interprétation d'une feuille de calcul. La cellule B2 contient la formule =3*B1-4. Cela indique immédiatement que la fonction $f$ est définie par $f(x) = 3x - 4$.

• Image et antécédent : Pour trouver l'image de $-1$, on regarde la colonne C (où $x = -1$). La valeur correspondante $f(x)$ est $-7$. Pour l'antécédent de $5$, on cherche $5$ dans la ligne 2 et on remonte à la ligne 1 pour trouver $x = 3$.
• Expression algébrique : La formule du tableur est explicite. Le symbole * représente la multiplication et B1 représente la variable $x$. On en déduit $f(x) = 3x - 4$.
• Calcul de valeur : Pour $f(10)$, il suffit de remplacer $x$ par $10$ : $3 \times 10 - 4 = 30 - 4 = 26$.

Analyse Partie 2 : Programmation et Algorithmique

Le script Scratch propose un programme de calcul séquentiel. Analysons chaque bloc pour traduire l'algorithme en langage mathématique.

• Étape 1 : Choisir un nombre $x$.
• Étape 2 : Ajouter 3. On obtient $x + 3$.
• Étape 3 : Multiplier par 2. Attention, il faut multiplier TOUT le résultat précédent : $2(x + 3)$.
• Étape 4 : Soustraire 5. On obtient $2(x + 3) - 5$.

Pour démontrer que le résultat est $2x + 1$, on développe l'expression : $2 \times x + 2 \times 3 - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1$. C'est une étape classique de calcul littéral au Brevet.

Analyse Partie 3 : Synthèse et Équations

La question finale demande quel nombre choisir pour que la fonction $f$ et le programme de calcul donnent le même résultat. Cela revient à résoudre l'équation $f(x) = 2x + 1$.

En remplaçant par les expressions trouvées : $3x - 4 = 2x + 1$. Pour résoudre :
1. On soustrait $2x$ des deux côtés : $x - 4 = 1$.
2. On ajoute $4$ des deux côtés : $x = 5$.
Le nombre de départ doit donc être $5$.

Les Pièges à éviter

Le piège principal dans cet exercice réside dans la confusion entre image et antécédent. Rappelez-vous : l'antécédent est la valeur de départ ($x$, sur l'axe des abscisses), l'image est le résultat ($f(x)$, sur l'axe des ordonnées).
Un autre point de vigilance est l'oubli des parenthèses lors du passage du programme Scratch à l'expression littérale. Multiplier "le résultat" par 2 impose des parenthèses autour de l'addition précédente.

Conseils de Rédaction

Pour maximiser vos points, détaillez chaque calcul. Ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Par exemple, pour la question 2.b, écrivez : "Si on choisit 8 : $8+3=11$, $11 \times 2 = 22$, $22 - 5 = 17$." Pour la question Scratch, montrez bien le développement : $2(x+3)-5 = 2x+6-5$. Une rédaction claire prouve au correcteur que vous maîtrisez la méthode de développement et de réduction.