Introduction aux Probabilités au Brevet

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Dans cet exercice issu du Brevet 2019 pour la zone Grèce, nous abordons une expérience aléatoire à deux épreuves : le tirage successif d'un chiffre des dizaines et d'un chiffre des unités. L'objectif est de modéliser une situation réelle (une loterie) par des outils mathématiques rigoureux. Cette thématique est récurrente à l'examen car elle permet d'évaluer la capacité de l'élève à organiser des données, à dénombrer des issues et à appliquer des propriétés de divisibilité. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer une maîtrise des notions d'équiprobabilité et d'univers des possibles.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'expérience consiste à faire tourner deux roues, A et B. La roue A détermine les dizaines, la roue B les unités. Chaque roue possède 4 secteurs identiques, ce qui implique une situation d'équiprobabilité pour chaque secteur. Les valeurs possibles pour A sont {1, 2, 3, 4} et pour B {6, 7, 8, 9}.

Question 1 : Dénombrement complet des issues

Pour lister tous les nombres possibles, la méthode la plus efficace est de réaliser un tableau à double entrée ou un arbre de probabilités. Puisque la roue A a 4 issues et la roue B a 4 issues, il y a au total $4 \times 4 = 16$ issues possibles. Voici la liste exhaustive :
- Dizaine 1 : 16, 17, 18, 19
- Dizaine 2 : 26, 27, 28, 29
- Dizaine 3 : 36, 37, 38, 39
- Dizaine 4 : 46, 47, 48, 49.
Cette étape est cruciale car une omission ici fausserait tous les calculs de probabilités suivants. L'élève doit être méthodique et ne pas oublier que chaque combinaison est unique.

Question 2 : Calcul de probabilité d'un événement

On nous demande de prouver que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 40 est de 0,25. Parmi notre liste de 16 nombres, quels sont ceux qui sont strictement supérieurs à 40 ? Ce sont les nombres commençant par le chiffre 4 (provenant de la roue A). Il y en a quatre : {46, 47, 48, 49}. La probabilité se calcule par le rapport : (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues). Soit $P = \frac{4}{16}$. En simplifiant la fraction, nous obtenons $P = \frac{1}{4}$, ce qui correspond bien à $0,25$. La démonstration est ainsi validée.

Question 3 : Critères de divisibilité et probabilités

Cette question demande une double compétence : la maîtrise des probabilités et la connaissance des critères de divisibilité. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Analysons notre liste :
- 16 ($1+6=7$, non), 17 ($1+7=8$, non), 18 ($1+8=9$, OUI), 19 ($1+9=10$, non).
- 26 ($2+6=8$, non), 27 ($2+7=9$, OUI), 28 ($2+8=10$, non), 29 ($2+9=11$, non).
- 36 ($3+6=9$, OUI), 37 ($3+7=10$, non), 38 ($3+8=11$, non), 39 ($3+9=12$, OUI).
- 46 ($4+6=10$, non), 47 ($4+7=11$, non), 48 ($4+8=12$, OUI), 49 ($4+9=13$, non).
Nous avons identifié 5 issues favorables : {18, 27, 36, 39, 48}. La probabilité est donc de $P = \frac{5}{16}$, soit $0,3125$.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de considérer que l'ordre n'importe pas. Or, ici, la roue A est spécifiquement affectée aux dizaines. Obtenir (2, 7) donne 27, et non 72 (ce qui est impossible car 7 n'est pas sur la roue A). Un autre piège concerne la question 3 : beaucoup d'élèves oublient de tester systématiquement tous les nombres ou font des erreurs de calcul mental sur la somme des chiffres. Utilisez toujours le critère de divisibilité par 3 pour être certain de votre résultat.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le résultat final. Commencez par définir l'univers des possibles (noté souvent $\Omega$) et précisez qu'il y a équiprobabilité car les secteurs sont de tailles égales. Utilisez des phrases de conclusion claires pour chaque question. Par exemple : 'Il y a 16 issues possibles car chaque roue offre 4 possibilités indépendantes'. Pour la question 2, montrez bien la fraction avant de donner le résultat décimal. Une rédaction soignée montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique mathématique sous-jacente.