Introduction : Un panorama complet du programme de 3ème

L'exercice 2 du sujet de Brevet des collèges 2019 (Amérique du Nord) est une épreuve de type 'Vrai ou Faux' qui exige une rigueur mathématique exemplaire. Contrairement à un simple QCM, chaque réponse doit être accompagnée d'une démonstration solide. Les thématiques abordées sont variées : fractions, fonctions affines, probabilités et développement de calcul littéral. Cet exercice permet d'évaluer la polyvalence de l'élève sur des compétences socles du cycle 4.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : L'addition des fractions

L'affirmation propose l'égalité suivante : \(\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 1}{5 + 2}\). C'est un piège classique que les professeurs appellent souvent l'erreur du débutant. En mathématiques, on ne peut jamais additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Pour vérifier cette affirmation, effectuons le calcul correct en réduisant au même dénominateur (ici 10) :
\(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) et \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\).
Ainsi, \(\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{11}{10} = 1,1\).
À l'inverse, le membre de droite de l'affirmation donne : \(\frac{4}{7} \approx 0,57\). Les deux résultats étant différents, l'affirmation 1 est Fausse.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Image et Antécédent d'une fonction

Ici, on étudie la fonction $f(x) = 5 - 3x$. On nous demande si l'image de $-1$ est $-2$. Pour le vérifier, il suffit de remplacer $x$ par $-1$ dans l'expression de la fonction :
\(f(-1) = 5 - 3 \times (-1)\).
Attention au produit des signes ! \(-3 \times (-1) = +3\).
Donc, \(f(-1) = 5 + 3 = 8\).
L'affirmation stipulait que l'image était $-2$. Le résultat étant 8, l'affirmation 2 est Fausse.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Probabilités et Nombres Premiers

Cette question compare deux expériences indépendantes. Pour trancher, calculons chaque probabilité séparément.

• Expérience 1 : On choisit un entier entre 1 et 11. L'univers comporte 11 issues. Les nombres premiers entre 1 et 11 sont : 2, 3, 5, 7, 11 (rappel : 1 n'est pas premier). Il y a donc 5 issues favorables. La probabilité est \(P_1 = \frac{5}{11} \approx 0,454\).
• Expérience 2 : On lance un dé à 6 faces. Les nombres pairs sont 2, 4, 6. Il y a 3 issues favorables sur 6. La probabilité est \(P_2 = \frac{3}{6} = 0,5\).

On constate que \(0,454 < 0,5\). Il est donc moins probable d'obtenir un nombre premier dans la première expérience. L'affirmation 3 est Fausse.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 4 : Identités remarquables et factorisation

On nous demande si \((2x + 1)^2 - 4 = (2x + 3)(2x - 1)\) pour tout nombre $x$. Il existe deux méthodes : développer les deux membres ou factoriser le membre de gauche.

Utilisons la factorisation de la forme \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) sur le membre de gauche :
Posons \(a = (2x + 1)\) et \(b = 2\) (car \(4 = 2^2\)).
\((2x + 1)^2 - 2^2 = [(2x + 1) + 2][(2x + 1) - 2]\)
\((2x + 1)^2 - 4 = (2x + 3)(2x - 1)\).
On retrouve exactement le membre de droite. L'affirmation 4 est Vraie.

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

Dans cet exercice, plusieurs erreurs classiques peuvent coûter cher :
1. Le statut du chiffre 1 : N'oublie jamais que 1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un seul diviseur (lui-même).
2. Les règles de priorité : Dans le calcul de l'image pour la fonction $f$, la multiplication par $-3$ doit être traitée avant l'addition.
3. La confusion entre image et antécédent : 'L'image de $-1$' signifie que tu dois calculer $f(-1)$, et non chercher quand $f(x) = -1$.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour convaincre le correcteur, structure tes réponses :
- Annonce clairement si l'affirmation est Vraie ou Fausse dès le début ou à la fin après ta démonstration.
- Utilise des phrases de liaison : 'D'une part... d'autre part...', 'On en déduit que...'.
- Pour les probabilités, cite la formule de Laplace : 'Probabilité = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues'.
- Pour le calcul littéral, montre bien tes étapes de développement ou de factorisation. Une réponse sans calcul ne rapporte aucun point même si le choix Vrai/Faux est correct.