Introduction : L'algorithmique au Brevet de Mathématiques

L'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB) accorde une place prépondérante à l'algorithmique et à la programmation, souvent via le logiciel Scratch. L'exercice 6 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2019 en est une illustration parfaite. Il demande de faire le lien entre des blocs d'instructions logiques et des propriétés géométriques fondamentales comme celles du parallélogramme. Maîtriser ce thème est crucial car il rapporte des points basés sur la compréhension logique plutôt que sur des calculs complexes.

Analyse du script de construction du parallélogramme

Le script fourni utilise des variables pour définir un parallélogramme. Analysons la structure du programme : le chat s'oriente à $90\degres$ (vers la droite), puis demande deux valeurs à l'utilisateur : la longueur et l'angle. Le cœur du tracé repose sur une répétition d'instructions d'avance et de rotation. Le script dessine successivement quatre côtés. Un point essentiel à noter est l'alternance des angles de rotation : d'abord une rotation de la valeur angle, puis une rotation de 180 - angle. Cette alternance est ce qui permet de fermer la figure et de garantir que les côtés opposés sont parallèles, formant ainsi un parallélogramme.

Analyse de la Question 1 : Tracer une figure particulière

Dans cette question, l'énoncé impose longueur = 80 et angle = 90. Le rappel nous indique qu'un carreau du quadrillage représente 20 unités. Un côté de 80 unités correspond donc à $80 / 20 = 4$ carreaux. Le script commence par avancer de 100 (soit 5 carreaux) vers la droite, puis tourne de $90\degres$ vers la droite. Ensuite, il avance de la valeur longueur (80, soit 4 carreaux). Puisqu'on tourne à nouveau de $180 - 90 = 90\degres$, la figure obtenue est un rectangle de 5 carreaux sur 4 carreaux. C'est un cas particulier de parallélogramme où les angles sont droits.

Analyse de la Question 2 : Retrouver les paramètres à partir d'un dessin

On nous présente un tracé sur une grille. En observant la figure, nous comptons les carreaux. Le premier segment horizontal mesure 5 carreaux, soit $5 \times 20 = 100$ unités (ce qui correspond bien à l'instruction fixe avancer de 100). Le côté vertical mesure également 5 carreaux, soit $5 \times 20 = 100$ unités. Comme ce côté correspond à la variable longueur dans le script, on en déduit que longueur = 100. L'angle entre les deux segments est un angle droit. Dans Scratch, pour obtenir un angle intérieur de $90\degres$, il faut tourner de $180 - 90 = 90\degres$. Ainsi, la valeur à donner pour la variable angle est 90. La figure finale est ici un carré.

Analyse de la Question 3 : Le piège des angles intérieurs et extérieurs

C'est la question la plus technique de l'exercice. L'élève choisit longueur = 50 et angle = 75. Rappelons la règle d'or sur Scratch : l'instruction tourner de X degrés ne définit pas l'angle intérieur de la figure, mais l'angle de rotation extérieur. L'angle intérieur est le supplément de l'angle de rotation, soit $180 - X$.
Ici, le premier virage est de angle = 75 degrés. L'angle intérieur correspondant est donc $180 - 75 = 105\degres$.
Le deuxième virage est de 180 - angle, soit $180 - 75 = 105$ degrés. L'angle intérieur correspondant est donc $180 - 105 = 75\degres$.
En observant les figures proposées :
- La figure A montre un angle de $115\degres$.
- La figure B montre un angle de $75\degres$.
- La figure C montre un angle de $105\degres$.
Le script commence par tracer un côté de 100, tourne de 75 (angle intérieur 105), puis trace un côté de 50. Le sommet suivant aura un angle de 75. La figure C présente un angle de $105\degres$ au sommet adjacent au premier côté tracé, ce qui correspond à notre calcul de l'angle intérieur ($180 - 75 = 105$). Cependant, selon l'orientation de l'angle marqué sur le schéma, il faut être vigilant. La figure B montre un angle de $75\degres$ qui correspond à l'angle opposé. Après analyse rigoureuse des sommets, la réponse attendue est la figure C car le premier angle formé par le virage de 75 degrés est un angle obtus de $105\degres$.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. L'échelle du quadrillage : Ne confondez pas le nombre de carreaux avec la valeur en unités. Lisez toujours la légende (ici 1 carreau = 20 unités).
2. Sens de rotation : Scratch tourne par défaut dans le sens des aiguilles d'une montre (turn right).
3. Angle de rotation vs Angle géométrique : C'est l'erreur la plus fréquente. Souvenez-vous que si le lutin tourne de $X$, l'angle de la figure fermée sera de $180 - X$. C'est le principe de l'angle plat.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour la question 3, ne vous contentez pas d'écrire la lettre. Même si ce n'est pas explicitement demandé, justifiez brièvement : 'Le lutin tourne de $75\degres$, donc l'angle intérieur de la figure est $180 - 75 = 105\degres$. Seule la figure C possède un angle de cette mesure à ce sommet'. Cela montre au correcteur que vous avez compris la logique informatique derrière le dessin géométrique. Soyez précis sur les termes : parlez de 'variable', d' 'instruction' et de 'supplémentaire' pour les angles.