Introduction aux Transformations Géométriques au Brevet

L'exercice 5 du sujet de Brevet Amérique du Nord 2019 est un classique absolu portant sur les transformations géométriques. Dans cet énoncé, les élèves de troisième sont confrontés à un hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$. Ce type d'exercice teste votre capacité à visualiser des mouvements dans le plan : symétries (axiale et centrale), rotation et translation. La particularité de cet exercice est qu'aucune justification n'est attendue, ce qui signifie que l'erreur n'est pas permise sur le résultat final. Cependant, pour réussir à coup sûr, il est crucial de comprendre les propriétés fondamentales de chaque transformation.

Analyse Question 1 : La Symétrie Centrale

La première question porte sur la symétrie centrale de centre $O$. Rappelons qu'une symétrie centrale équivaut à un demi-tour ($180^\circ$) autour du centre. Pour trouver l'image du quadrilatère $CDEO$, nous devons regarder où chaque point se retrouve après avoir traversé le point $O$.
Dans un hexagone régulier divisé en 6 triangles équilatéraux :

• Le point $C$ a pour image $F$ par rapport à $O$.
• Le point $D$ a pour image $A$ par rapport à $O$.
• Le point $E$ a pour image $B$ par rapport à $O$.
• Le point $O$ est son propre centre, il reste invariant.

Par conséquent, l'image du quadrilatère $CDEO$ est le quadrilatère $FABO$. C'est la Proposition 1. En symétrie centrale, les longueurs et les angles sont conservés, ce qui garantit que la forme reste identique.

Analyse Question 2 : La Symétrie Axiale

La question 2 nous interroge sur l'image du segment $[AO]$ par la symétrie d'axe $(CF)$. La symétrie axiale agit comme un miroir. L'axe $(CF)$ passe par les sommets opposés de l'hexagone ainsi que par le centre $O$.
Regardons la position des points par rapport à cette droite :

• Le point $O$ appartient à l'axe $(CF)$, il est donc invariant (son image est lui-même).
• Le point $A$ est situé d'un côté de l'axe. En traçant la perpendiculaire à $(CF)$ passant par $A$, on s'aperçoit que le point $F$ n'est pas son symétrique direct, mais c'est le point $E$ ou $B$ ? Non, regardons attentivement la figure : l'axe $(CF)$ est horizontal. Le point $A$ est en haut à gauche. Son symétrique par rapport à la droite $(CF)$ est le point $E$.

Attention, une erreur fréquente est de confondre l'image d'un point avec un autre sommet proche. Ici, l'image de $A$ est $E$. Donc l'image du segment $[AO]$ est le segment $[EO]$.

Analyse Question 3 : La Rotation

La rotation est souvent la transformation qui pose le plus de problèmes aux élèves. Ici, on nous donne une information clé : la rotation de centre $O$ transforme le triangle $OAB$ en $OCD$.
Analysons ce mouvement : pour passer de $A$ à $C$, on tourne de deux 'crans' dans le sens des aiguilles d'une montre. Puisque l'hexagone est composé de 6 angles au centre de $60^\circ$ ($360/6$), tourner de deux triangles correspond à un angle de $120^\circ$ dans le sens horaire.
On nous demande maintenant l'image du triangle $BOC$ par cette même rotation de $120^\circ$ :

• Le point $B$ se déplace de deux triangles et arrive en $D$.
• Le point $C$ se déplace de deux triangles et arrive en $E$.
• Le point $O$, centre de rotation, reste fixe.

L'image du triangle $BOC$ est donc le triangle $DOE$.

Analyse Question 4 : Translation et Pavage

La dernière question utilise un pavage pour illustrer la translation. Une translation est un glissement sans déformation ni retournement. On nous dit que la translation transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12.
Sur le graphique du pavage, pour passer de 2 à 12, on effectue un mouvement de 'un hexagone vers le bas et légèrement à gauche'. En observant les numéros, on voit que ce vecteur de translation correspond à un décalage précis dans la structure en nid d'abeille.
Appliquons ce même glissement à l'hexagone 14. En suivant la même direction et la même distance (le vecteur), on arrive directement sur l'hexagone 24. La translation conserve la position relative des objets.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Même si aucune justification n'est demandée ici, voici des conseils pour ne pas se tromper :

• Confusion des symétries : Ne confondez pas la symétrie centrale (point) avec la symétrie axiale (droite). La première fait faire un demi-tour, la seconde fait un effet miroir.
• Sens de rotation : Identifiez toujours si la rotation est horaire (sens des aiguilles d'une montre) ou anti-horaire.
• Lecture du pavage : Pour la translation, comptez bien les rangées et les colonnes décalées. Ne vous fiez pas qu'à l'œil nu, vérifiez le chemin parcouru.
• Notation : Utilisez toujours des crochets pour les segments $[AO]$ et des parenthèses pour les droites $(CF)$.

En maîtrisant ces concepts de géométrie du plan, vous assurez des points faciles lors de l'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges.