Introduction aux Statistiques pour le Brevet

Les statistiques constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Elles ne se contentent pas de manipuler des chiffres ; elles permettent de donner du sens à des ensembles de données complexes. Dans cet exercice du Brevet Amerique du Nord 2019, nous sommes confrontés à une situation concrète : l'analyse des résultats d'un concours d'entrée. L'objectif est de mobiliser trois indicateurs clés : la moyenne, la médiane et l'étendue. Ces notions sont cruciales car elles permettent de résumer une série de notes et d'en comprendre la répartition. Pour réussir cette épreuve, il ne suffit pas de connaître les formules par cœur, il faut savoir les appliquer de manière critique, notamment pour identifier des valeurs manquantes ou invalider des hypothèses.

Analyse de l'Information 1 : Les Données Brutes

L'énoncé nous présente une liste de 8 notes. Parmi elles, 6 sont connues : $10, 13, 15, 14,5, 6, 7,5$. Deux notes restent mystérieuses, symbolisées par un triangle et un cercle. Une précision importante est donnée : les notes sont attribuées par demi-points. Cela signifie que l'ensemble des valeurs possibles appartient à un ensemble discret (0 ; 0,5 ; 1 ; ... ; 20). Avant de se lancer dans les calculs, l'élève doit prendre le réflexe de classer les valeurs connues par ordre croissant : $6 < 7,5 < 10 < 13 < 14,5 < 15$. Ce tri est l'étape préliminaire indispensable pour tout travail sur la médiane.

Analyse de l'Information 2 : Les Indicateurs de Série

L'information 2 nous donne les propriétés globales de la série des 8 notes. L'étendue est de 9. Rappelons que l'étendue est la différence entre la valeur la plus haute et la valeur la plus basse de la série. Ici, $E = 9$. Si nous regardons nos notes connues, la plus basse est 6. Si 6 est le minimum global de la série, alors la note maximale possible serait $6 + 9 = 15$. Si une note est plus basse que 6, le maximum doit descendre en conséquence. La moyenne est de 11,5. La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs et en divisant par l'effectif total (ici 8). Enfin, la médiane est de 12. Pour un effectif pair de 8, la médiane se situe entre la 4ème et la 5ème valeur de la série ordonnée.

Résolution de la Question 1 : Le piège de l'étendue

La question nous demande d'expliquer pourquoi il est impossible qu'une des notes manquantes soit 16. Pour répondre, il faut confronter cette valeur aux informations de l'énoncé, plus précisément à l'étendue. Si l'une des notes est 16, examinons l'impact sur l'étendue. Nous savons que la note minimale connue est 6. Si 6 reste la note minimale, l'étendue deviendrait $16 - 6 = 10$. Or, l'énoncé stipule que l'étendue est strictement égale à 9. Si l'on supposait qu'une autre note est encore plus petite que 6, l'étendue serait encore plus grande que 10. Ainsi, la valeur 16 est incompatible avec l'étendue de 9 donnée dans l'Information 2. C'est un raisonnement par l'absurde très classique au Brevet qui valorise la rigueur logique de l'élève.

Résolution de la Question 2 : Vérification des hypothèses

Est-il possible que les deux notes soient 12,5 et 13,5 ? Pour valider cette hypothèse, nous devons vérifier si les trois indicateurs (étendue, moyenne, médiane) concordent.
1. L'étendue : Avec 12,5 et 13,5, la série complète ordonnée est $6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15$. Le min est 6, le max est 15. $15 - 6 = 9$. L'étendue est respectée.
2. La moyenne : Somme des notes = $6 + 7,5 + 10 + 12,5 + 13 + 13,5 + 14,5 + 15 = 92$. Moyenne = $92 / 8 = 11,5$. La moyenne est respectée.
3. La médiane : Pour 8 valeurs, la médiane est la moyenne entre la 4ème ($12,5$) et la 5ème ($13$) valeur. Médiane = $(12,5 + 13) / 2 = 12,75$. Problème ! L'énoncé indique une médiane de 12. L'hypothèse est donc fausse car elle ne respecte pas le critère de la médiane.

Les Pièges à éviter au Brevet

Le piège le plus fréquent dans cet exercice est de ne pas réordonner la série de notes à chaque nouvelle hypothèse. La médiane dépend strictement de la position des valeurs. Un autre écueil est de se concentrer uniquement sur la moyenne en oubliant que les trois conditions de l'Information 2 doivent être remplies simultanément. Enfin, attention aux erreurs de calcul simples lors de l'addition des nombres décimaux (les demi-points). Utilisez toujours votre calculatrice pour vérifier la somme totale.

Conseils de rédaction pour l'épreuve

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'un 'Oui' ou d'un 'Non'. Structurez votre réponse : commencez par citer la définition de la notion utilisée (ex: 'L'étendue est la différence entre...'), puis effectuez le calcul avec les valeurs de l'exercice, et concluez par une phrase claire faisant le lien avec l'énoncé. Pour la question 2, montrez que vous avez testé les trois critères. Même si un seul critère ne fonctionne pas, le correcteur appréciera de voir que vous avez vérifié l'ensemble des données. La clarté de votre raisonnement est tout aussi importante que le résultat final.