Introduction aux probabilités et à l'algorithmique au Brevet

L'exercice 6 du sujet de Mathématiques du Brevet des collèges 2019 (Métropole) est une synthèse parfaite entre les probabilités et l'algorithmique-programmation via le logiciel Scratch. Ce type d'exercice est récurrent car il évalue la capacité de l'élève à passer d'un modèle physique (des dés truqués ou modifiés) à une simulation informatique. Nous allons décortiquer ici les concepts d'équiprobabilité, de variables et de structures conditionnelles.

Analyse méthodologique de l'exercice

L'énoncé présente deux dés, A et B, dont les faces ne sont pas numérotées de 1 à 6 de manière classique. La première étape cruciale pour un élève de 3ème est de bien identifier la composition de chaque dé.

1. Étude de l'impossibilité du match nul

Pour savoir si un match nul est possible, il faut comparer les valeurs inscrites sur les faces des deux dés. Sur le dé A, on observe grâce au programme Scratch que les valeurs possibles sont uniquement 2 et 6. Pour le dé B, l'examen visuel du patron ou la logique de construction montre des valeurs différentes (typiquement 1 et 5). Puisqu'aucune valeur n'est commune aux deux dés (2 et 6 contre 1 et 5), il est impossible que les deux joueurs obtiennent le même score. Le résultat de l'inéquation FaceA = FaceB est toujours faux.

2. Probabilités conditionnelles simplifiées

La question 2 demande d'évaluer des probabilités selon un résultat déjà fixé pour l'un des joueurs. Si le dé A affiche 2, Basile (dé B) gagne s'il obtient un chiffre supérieur à 2. Si son dé contient trois faces '1' et trois faces '5', il a 3 chances sur 6 (soit 1/2) de gagner. Inversement, si le dé B affiche 1, Armelle gagnera forcément car toutes ses faces (2 ou 6) sont supérieures à 1. La probabilité est donc de 1 (événement certain).

Décryptage du programme Scratch

La partie algorithmique simule 60 000 duels. C'est une application directe de la Loi des Grands Nombres.

La structure du programme principal

Le script utilise une boucle 'répéter 60 000 fois'. À l'intérieur, on appelle des blocs personnalisés (sous-programmes). La ligne 7 est le cœur de la simulation : elle doit comparer les deux variables. On complètera par : si FaceA > FaceB alors. Si cette condition est vraie, on incrémente le compteur de victoires d'Armelle.

Rédaction du sous-programme pour le dé B

Pour simuler le dé B, il faut s'inspirer du modèle du dé A. Si le dé B a trois faces '1' et trois faces '5', le code Scratch sera :
définir Lancer le dé B
mettre tirage_B à nombre aléatoire entre 1 et 6
si tirage_B < 4 alors mettre FaceB à 1 sinon mettre FaceB à 5.

Analyse des résultats statistiques et conjecture

À la fin de l'exécution, on nous donne des résultats numériques. Pour calculer la fréquence de gain d'Armelle (A), on effectue le rapport : 39 901 / 60 000. Le résultat est environ 0,665, soit 66,5 %. En arrondissant à l'unité comme demandé, on obtient 67 %.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

• La confusion des variables : Ne confondez pas la valeur de la face (2 ou 6) avec le numéro du tirage aléatoire (1 à 6).
• L'arrondi : Attention à la précision demandée (à 1% près).
• La lecture du patron : Prenez le temps de compter les points sur chaque face du patron en LaTeX pour ne pas vous tromper sur la composition des dés.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir tous les points, justifiez vos calculs de probabilités par des phrases simples : 'Il y a 4 faces marquées 2 sur un total de 6 faces, donc la probabilité est de 4/6'. Pour la partie Scratch, recopiez soigneusement les blocs en respectant la forme des instructions (ovales pour les variables, losanges pour les conditions).